Simplificar la ecuación por una traslación de ejes.

Esta creo que es la ecuación de una hipérbola. La simplificación consiste en llevar el origen del nuevo sistema al centro de la hipérbola. Es lo mismo que cuando calculamos la ecuación canónica para encontrar el centro.

El procedimiento se llama completar cuadrados

9x^2 - 54x - 25y^2 + 100y - 244 = 0

Debemos eliminar los términos -54x y 100y haciéndolos formar parte de un cuadrado de la forma (ax+b)^2 o (cy+d)^2

(3x-9)^2 = 9x^2 - 54x + 81 ==>

9x^2 - 54x = (3x-9)^2 - 81

-(5y -10)^2 = -25y^2 +100y - 100 ==>

-25y^2 +100y = -(5y -10)^2 + 100

Con esto la ecuación queda

(3x-9)^2 - 81 - (5y -10)^2 + 100 - 244=0

(3x-9)^2 - (5y -10)^2 - 225=0

[3(x-3)]^2 + [5(y-2)]^2 - 225 = 0

9(x-3)^2 + 25(y-2)^2 - 225 = 0

Si hacemos la traslación de vector (-3, -2) tendremos

x' = x-3

y' = y-2

y la ecuación quedará simplificada a

9(x')^2 + 25(y')^2 - 225 = 0

Y eso es todo.