X\|x| Quiero que me expliquen qué propiedad utilizó?

No quedo bien la ecuación, creo que era así:

$$\begin{align}&\text {el profe puso } \\ &\\ &y=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\end{align}$$

Luego siguió

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2 \left ( 1+\frac{1}{x^2 }\right )}}\\ &\\ &\\ &\text{Dijo que reemplazó x/|x| por sig(x)}\end{align}$$

Está bien, quiere calcular un límite, lo primero extrae x^2 como factor común en el radicando.

Luego saca ese x^2 fuera del radicando y sale como |x|. Eso es así porque el denominador es una raíz cuadrada y será siempre positiva. Si sacase x sin más podría volverse negativo el denominador.

Y luego dijo que x/|x| = sig(x). Eso esta bien. La función sig(x) es una función que vale -1 si x es negativa, 0 si es cero y 1 si es positiva. Y eso es lo que vale precisamente x/|x|.

Bueno, en cero no está definida, pero no nos importa esto del cero porque lo que calculamos es un límite en +infinito.

Y como en +infinito sig(x) = 1 se concluye al final que el límite es 2.

Supongo sabrás que el término 1/x^2 del radicando desapareció porque cuando x tiende a infinito se hace cero.

Y eso es todo, si necesitas más explicaciones pídemelas.