Derivación de funciones de variable compleja
dada
$$f(z)=(-27x+x^3-3xy^2)+i(27y-3x^2y+y^3)$$
hallar los valores
$$z\in C$$
tal que
$$f´(z)$$
exista
1 respuesta
Las derivadas parciales son estas
Ux = - 27 + 3x^2 - 3y^2
Uy = -6xy
Vx = -6xy
Vy = 27 -3x^2 +3y^2
Todas ellas existen y son continuas, luego será derivable si y solo si cumple las condiciones de C-R
i) Ux = Vy
- 27 + 3x^2 - 3y^2 = 27 - 3x^2 +3y^2
54 - 6x^2 +6y^2 = 0
9 - x^2+y^2 = 0
ii) Vx = -Uy
-6xy = -(-6xy)
-6xy = 6xy
-xy = xy
2xy=0
que se cumple de una de estas dos formas o de las dos
x=0
y=0
Vamos a la primera condición con estos dos casos
1) Si x=0
9 - 0^2 + y^2 = 0
y = {3i, -3i}
pero se supone que y es real, luego no sirve
2) Si y=0
9 - x^2 + 0^2 = 0
x = {-3, 3}
esto si sirven
tendremos estos dos puntos (x,y)
(-3, 0) (3,0)
que son
z=-3
z=3
3) Si x=0 y y=0 no puede ser
9 - 0^2 -0^2 = 0 absurdo.
Luego en resumen, solo es derivable en los puntos
z=-3
z=3
Y eso es todo.
