Problema de teoría de num, página 52 Adler

2-25) Ver que n(n-1)(2n-1) es múltiplo de 6 para todo n positivo.

Comienza diciendo que la suma de los n primeros cuadrados es

n(n-1)(2n-1)/6

Como la suma de los cuadrados es un número entero no queda mas remedio que el numerador sea múltiplo de 6.

n(n-1)(2n-1) será divisible entre 6 si y solo si es divisible entre 2 y 3

Que es divisible entre 2 es fácil ya que n o (n-1) será par

Falta ver que es divisible entre 3.

La congruencia de n módulo 3 puede ser 0,1 o 2.

Si es 0 ya es múltiplo de 3 por serlo el factor n

Si es 1 también porque (n-1) es múltiplo de 2

n ~: 1 (mod 3)

n-1 ~: 0 (mod 3)

Y si es 2 el factor múltiplo de 3 es 2n-1

n ~: 2 (mod 3)

2n ~: 4 (mod 3)

2n ~: 1 (mod 3)

2n-1 ~: 0 ( mod 3)

Luego sea cual sea el caso n(n-1)(n-2) es múltiplo de 3. Y como también lo era de 2 es múltiplo de 6.

Y lo demuestra también por inducción, toma la función

f(n) = n(n-1)(2n-1)

Para n=1

f(1) = 1·0·1= 0 que es múltiplo de 6

Ahora considera que f(k) es múltiplo de 6

f(k+1) = (k+1)k[2(k+1)-1] =

[(k-1)+2]k(2k+1)=

(k-1)k(2k+1) + 2k(2k+1) =

k(k-1)[(2k-1)+2] + 4k^2 + 2k =

k(k-1)(2k-1) + 2k(k-1) + 4k^2 + 2k =

k(k-1)(2k-1) + 2k^2 -2k + 4k^2 + 2k =

k(k-1)(2k-1) + 6k^2

en conclusión

f(k+1) = f(k) + 6k^2

Y si f(k) es múltiplo de 6 entonces f(k+1) también lo es y que aprobada la inducción.

Y eso es todo.