Pregunta función armónica parte 2

Para que una función g(x, y) se a conjugada armónica de una función armónica f(x, y) debe cumplirse

fx(x,y) = gy(x,y)

-fy(x,y) = gx(x,y)

Habíamos calculado que

f(x,y) = A·ln(x^2+y^2) + B

fx(x,y) = 2Ax / (x^2+y^2)

fy(x,y) = 2Ay / (x^2+y^2)

Luego

gy(x,y) = 2Ax(x^2+y^2)

Ahora debemos integrar esta expresión respecto de y

$$\begin{align}&g(x,y) = 2A\int \frac{xdy}{x^2+y^2}= \\ &\\ &\frac{2Ax}{x^2}\int \frac {dy}{1+\frac{y^2}{x^2}}=\\ &\\ &\\ &2A\int \frac{\frac 1x dx}{1+ \frac{y^2}{x^2}}=\\ &\\ &2Aarctg \frac yx + C(x)\\ &\\ &\end{align}$$

Donde C(x) es una función de x

Y la otra condición es

$$\begin{align}&-\frac{ 2Ay}{ (x^2+y^2)} = g_x(x,y) =  \frac{d[2A·arctg(y/x) + C(x)]}{dx}=\\ &\\ &\\ &\frac{2A}{1+\frac{y^2}{x^2}}·\frac{-y}{x^2}+C´(x)=\\ &\\ &-\frac{2Ay}{x^2+y^2}+ C´(x)\\ &\\ &\text{comparando el principio y el final se deduce}\\ &C'(x) = 0 \implies C(x) = C \end{align}$$

Luego la función conjugada armónica de f(x,y) es

g(x,y) = 2A·arctg(y/x) + C

Y eso es todo.