5,14 ... Terminar el enunciado

5.14)

El enunciado será:

Si s es un ciclo de longitud n, entonces s^r también es un ciclo si y solo si mcd(n, r) = 1.

Demostración a derecha. (ciclo ==> mcd(n,r) = 1)

Todos los elementos del ciclo necesitan n operaciones para volver a su sitio. Luego mientras no se efectúen n operaciones o un múltiplo de n todos los elementos estarán fuera de lugar y todos los números aparecerán en la escritura de la permutación en ciclos. Por lo tanto, si la permutación es un ciclo será un ciclo que contenga todos los números.

Para simplificar supongamos que el ciclo es s=(1,2,3,..., n)

s^r= (1, 1+r, 1+2r, 1+3r....)

Si mcd(n,r) = d > 1 veamos cuál será el elemento n/d+1 del ciclo

1+(n/d)r = 1 + nr/d

Como d divide a r quedará

1+kn

Eso es el elemento 1 del ciclo, porque cuando pasamos del último volvemos por la izquierda restando un múltiplo de n

Esto quiere decir que el ciclo se cierra con n/d elementos, como d>n implica n/d < n, luego el ciclo no tiene elementos y habrá otro u otros para que tomos los elementos aparezcan. Pero eso es absurdo porque partíamos de la hipótesis de que había un solo ciclo.

Luego el mcd debe ser 1.

Demostración a la izquierda. (mcd(n,r) = 1 ==> ciclo)

Si el mcd(n, r) = 1 el mcm(n, r) = nr

Entonces tomando el ciclo que hemos visto antes y que vamos formando

s^r=( 1, 1+r, 1+2r, ....)

No llegaremos hasta el número 1, que se obtiene con 1+kn, hasta 1+nr y eso significa que ese ciclo tendrá n elementos, luego ya no habrá otro ciclo y s^r será un ciclo.

Y eso es todo.