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4.15)
a) Las propiedades son
1) f(y)>= 0 para todo y en (-oo, +oo). Lo cumple, porque donde vale 0 lo cumple y donde vale b/y^2 también porque b es positivo
2) $ f(y)dy entre -oo y +oo = 1
La integral es -b/y entre b y +oo = 0 - (-b/b) = - (-1) = 1
b) La integral indefinida es
-b/y + C
Debemos hacer que en punto b valga 0, ya que hasta ese punto la función de densidad es nula y la de distribución también debe serlo.
-b/b + C = 0
C = 1
Luego la función de distribución para y >= b es 1 - b/y
F(y) =
0 si y € (-oo, b)
1 - b/y si y € [b, +oo)
c) P(Y>b+c) = 1 - P(b+c>=Y) = 1 -(1- b/(b+c)) = b/(b+c)
d) Si c y d positivas con d>c calcular P(Y>b+d | Y>b+c)
LA fórmula de la probabilidad condicionada es
P(A|B) = P(A n B) / P(B)
El conjunto A sería el intervalo (b+d, +oo)
El conjunto B es el intervalo (b+c, +oo)
Como d>c la intersección es el primer intervalo (b+d, +oo)
P(Y>b+d | Y>b+c) = P(Y>b+d)/P(Y>b+c) =
[1-P(b+d>=Y)] / [1-P(b+c>=Y)] =
{1-[1-b/(b+d)]} / {1-[1-b/(b+c)]}=
[b/(b+d)] / [b/(b+c)] =(b+c)/(b+d)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. A ver cuando arreglan lo del signo menor para poder escribir las desigualdades en el orden natural.
