Hola buenas tardes necesito ayuda con este ejercicio de Estadística por favor.
Estimado Valeroasm:
Se ha comprobado que
el tiempo necesario para atender a cada
cliente en una ventanilla de una sucursal bancaria está distribuido en forma aproximadamente
normal con µ = 130 segundos y s = 45 segundos:
1) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente
seleccionado aleatoriamente requiera menos de 100 segundos para terminar sus
transacciones?
2) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente
seleccionado aleatoriamente pase entre 2.0 y 3.0 minutos en la ventanilla?
3) ¿En cuanto tiempo terminó sus movimientos en la ventanilla el 20% de los clientes, con las transacciones más sencillas?
4) ¿Cuál es el tiempo mínimo requerido para que se
realicen el 5% de las transacciones más complejas llevadas por los clientes?
Agradeciendo atentamente tu apoyo.
Un saludo afectuoso.
1 Respuesta
El tiempo necesario es una variable X ~N(130, 45)
Para poder usar la tabla (porque supongo que esa es la forma que te obligarán a utilizar) debemos tipificarla a una N(0,1). Eso se consigue definiendo una variable Z así
Z=(X-media)/desviación $ N(0,1)
Y con esta Z ya podemos buscar en la tabla, lo que pasa que no podemos introducir el valor que nos dan sino el correspondiente en Z que es el valor restándole la media y dividiendo por la desvación
P(X <= a) = P[Z <= (a-media)/desvación]
1)
P(X<=100) = P[Z <= (100-130)/45] = P(Z <= -0.6666)=
Los valores negativos no aparecen en la tabla, pero se calculan por la simetría de la N(0,1) donde hay tanto a la izquierda del negativo como a la derecha del positivo, y la derecha del positivo es 1 menos el valor del positivo. Resumiendo
P(Z <=-0.6666) = 1 - P(Z <= 0.6666) =
haremos un poco de interpolación ya que el valor está bastante en medio
tabla(0.66) = 0.7454
tabla(0.67) = 0.7486
diferencia = 0.0032
P(Z<=0.6666) = 0.7454 + 0.66·0.0032 = 0.7454+0.002112=
0.747512
2)
3 minutos = 180 seg
2 minutos = 120 seg
P(120 <= X <= 180) =
P(X<=180) - P(X<=120) =
P[Z <= (180-130)/45] - P[Z <=(100-130) / 45] =
P(Z <= 1.1111) - P(Z <= -0.4444)
Tabla(1.11) = 0.8665
Tabla(1.12) = 0.8686
Diferencia = 0.0021
P(Z <= 1.11) = 0.8665 + 0.11 · 0.0021 = 0.866731
P(Z<=-0.4444) = 1 -P(Z<=0.4444)
Tabla(0.44) = 0.6700
Tabla(0.45) = 0.6736
Diferencia = 0.0036
P(Z<= 0.4444) = 0.6700 + 0.44 · 0.0036 = 0.671584
P(Z<=-0.4444) = 1 - 0.671584 =0.328416
P(Z <= 1.1111) - P(Z <= -0.4444) = 0.866731 - 0.328416 = 0.538315
3) Supongo que quiere decir el tiempo mayor del 20 de los clientes que menos tiempo usaron.
Tendríamos que encontrar un 0.2 en la tabla, pero como solo tiene valores positivos buscaremos el punto simétrico en la gráfica de una N(0,1) que es 0.8
El 0.8 sale aproximadamente para 0.85 esta vez no haré las pesadas interpolaciones porque es muy próximo a 0.85.
Entonces para el 0.20 sería el valor opuesto -0.85.
Este -0.85 es el valor de Z que da 0.2 de probabilidad. Pero ahora tenemos que ver a que valore de X se corresponde ese de Z
Z = (X - media) / desviación
-0.85 = (X-130)/45
-0.85 · 45 = X-130
-38.25 = X -130
X = 130-38.25 = 91.95 seg
4) Pues ahora buscaremos en la tabla el 0.95 que marca el límite del 5% de las operaciones más complejas. Está justo en médico de 1.64 y 1.65, luego se lo adjudicamos a 1.645
Y una vez obtenido el valor de Z despejamos X como en el apartado anterior
Z= (X-media)/desviación
1.645 = (X-130)/45
1.645 · 45 = X -130
74.025 = X -130
X = 74.025 + 130 = 204.025 seg
Y eso es todo.
