.Problema 19, página 64 Adler

Ver que si 3a^2 - 2b^2 = 1, entonces a^2 - b^2 es divisible entre 40

Para que se cumpla la igualdad, como 2b^2 es par, 3a^2 debe ser impar, luego a^2 debe ser impar y a debe ser impar

Vamos a ver que las congruencias de cuadrados de impares módulo 40 son

1, 9, 25, 9, 1

y las demás son repetidas

1^2 ~: 1 (mod 40)

3^2 ~: 9 (mod 40)

5^2 ~: 25 (mod 40)

7^2 ~: 9 (mod 40)

9^2 ~: 1 (mod 40)

Sea un número n impar mayor que 10

n = 2m + 1 + 10k con m=0,1,2,3 o 4

n^2 =(2m+1)^2 + 20(2m+1)k + 100k^2 = (2m+1)^2 + 40mk + 20k + 100k^2

si le restamos 40mk y 80k^2 queda un número congruente módulo 40

n^2 = (2m+1)^2+40mk+20k+100k^2 ~: (2m+1)^2 + 20(k+k^2)

Si k es impar, k^2 es impar, luego k+k^2 es par. Y si k es par, k^2 es par y k+k^2 es par.

luego 20(k^2+k) es múltiplo de 40 y lo podemos restar manteniendo la congruencia

n^2 ~: (2m+1)^2 con m=0,1,2,3 o 4

Luego lo dicho, las únicas congruencias de cuadrados de impares módulo 40 son

1, 9, 25, 9, 1 y se repiten cíclicamente

tomamos la igualdad

3a^2-2b^2 = 1

2a^2 - 2b^2 = 1 - a^2

2(a^2-b^2) = 1 - a^2

haciendo congruencias modulo 40

2(a^2-b^2) ~: 1-a^2 (mod 40)

los posibles valores de a^2 hemos visto que son 1, 9 o 25

Si a^2 ~: 1 mod 40

2(1-b^2) ~: 1-1 = 0 (mod 40)

1-b^2 ~: 0 o 20 (mod 40)

las dos congruencias posibles son

1 ~: b^2 (mod 40) (Esta puede ser)

-19 ~: 21 ~: b^2 (mod 40) (Esta no puede ser ya que no es 1,9 o 25)

Si a^2 ~: 9 (mod 40)

2(9-b^2) ~: 1-9 =-8 ~: 32 (mod 40)

9-b^2 ~: 16 o 36 (mod 40)

las dos posibilidades son

9-16 = -7 ~: 33 ~: b^2 (no puede ser)

9-36 = -27 ~: 13 ~: b^2 (no puede ser)

Si a^2 ~: 25 (mod 40)

2(25-b^2) ~: 1-25 = -24 ~: 16 (mod 40)

25-b^2 ~: 8 o 28 (mod 40)

que son

25-8 = 17 ~: b^2 ( no puede ser)

25-28 = -3 ~: 37 ~: b^2 (no puede ser)

Luego la única posibilidad es con

a^2 ~: 1 (mod 40) y

b^2 ~: 1 (mod 40)

luego

a^2 - b^2 ~: 1-1 = 0 (mod 40)

Luego a^2-b^2 es múltiplo de 40

Oye, me he pegado mucho tiempo con este ejercicio, no sé si habrá algún método más sencillo.