Elipse: 3x2 + 5y2 – 6x - 12 = 0. Determine: a. Centro b. Focos c. Vértices

Los exponentes se escriben después del símbolo ^

3x^2 + 5y^2 - 6x -12=0

Hay que completar cuadrados en x, y en y

En x sería así

3x^2 - 6x = 3(x^2 - 2x) = 3[(x-1)^2 -1]

El -1 del final se añade para compensar un 1 que se ha añadido, ya que (x-1)^2= x^2-2x+1

En y no hay que hacer nada ya que no hay término con y

3[(x-1)^2-1] + 5y^2 - 12 = 0

3(x-1)^2 - 3 + 5y^2 - 12 = 0

3(x-1)^2 + 5y^2 - 15 = 0

Con esto ya sabemos que el centro es (1,0) pero para calcular los semiejes debemos llegar hasta la ecuación canónica

3(x-1)^2 + 5y^2 = 15

(3/15)(x-1)^2 + (5/15) y^2 = 1

(x-1)^2 / 5 + y^2 / 3 = 1

Los denominadores son a^2 y b^2 luego los semiejes de al elipse son la raíz cuadrada.

El semieje mayor es paralelo al eje X y mide sqrt(5), el menor es paralelo a Y mide sqrt(3)

Donde sqrt significa raíz cuadrada, es la forma internacional de representarla. Lo de los exponentes y la raíz cuadrada es algo imprescindible para entenderse las personas y sobre todo para la mayoría de programas de cálculo y gráficas.

La semidistancia focal es c quese calcula así

c = sqrt(a^2 - b^2) = sqrt(5+3) = sqrt(8) = 2sqrt(2)

Los focos están a c distancia del centro a izquierda y derecha, luego son

F1 = (1-2sqrt(2), 0)

F2 = (1+2sqrt(2), 0)

Y los vértices están a distancia a del centro a izquierda y derecha

V1 = (1-sqrt(5), 0)

V2 = (1+sqrt(5), 0)

Y eso es todo.