Ejercicio dudoso
- Considera 2 matrices cuadradas, M y N, del mismo orden. Prueba que, si su multiplicación verifica la propiedad conmutativa, entonces se cumple: (M+N)^3= M^3+3M^2*N+3M*N^2+N^3
[^3 significa elevado al cubo, ^2 significa elevado al cuadrado]
[^3 significa elevado al cubo, ^2 significa elevado al cuadrado]
Respuesta de keok
1
Dem:
(M+N)^3=(M+N)*(M+N)*(M+N)=[(M+N)*(M+N)]*(M+N)=[M^2+MN+NM+N^2]*(M+N)=
como MN es commutativa por hipótesis del enunciado implica que MN=NM por tanto
MN+NM=2(MN)=2MN, quedándonos
=[M^2+3MN+N^2]*(M+N)=M^3+M^2N+2MNM+2MNN+N^2M+N^3=
M^3+3M^2N+3MN^2+N^3
Como queríamos demostrar.
(M+N)^3=(M+N)*(M+N)*(M+N)=[(M+N)*(M+N)]*(M+N)=[M^2+MN+NM+N^2]*(M+N)=
como MN es commutativa por hipótesis del enunciado implica que MN=NM por tanto
MN+NM=2(MN)=2MN, quedándonos
=[M^2+3MN+N^2]*(M+N)=M^3+M^2N+2MNM+2MNN+N^2M+N^3=
M^3+3M^2N+3MN^2+N^3
Como queríamos demostrar.
