Desarrollar en serie de laurent
desarrollar en serie de laurent f(x)= (1+x+x^2)/(x^5+2x^4-x^3). Calcular sus coeficientes negativos y sus coeficientes para n=0,1 y 2
La función es analítica salvo en los puntos donde se anula el denominador.
x=0 tres veces
dividiendo por x^3
x^2 + 2x - 1 = 0
x = [-2 +- sqrt(4+4)] / 2 =
[-2 +- sqrt(8)] / 2 = -1 +- sqrt(2)
Las raíces son
-1-sqrt(2), 0, -1+sqrt(2)
Para hacernos una idea son aproximadamente
-2.414213562, 0, 0.4142135624
No me dices cual es el centro que debemos emplear para la serie. ¿Es el cero?
Descomponemos la función en fracciones simples.
$$\begin{align}&\frac Ax+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x+1+\sqrt 2}+\frac{E}{x+1-\sqrt 2}\\ &\\ &1+x+x^2 =(Ax^2+Bx+C)(x^2+2x-1)+\\ &x^3[D(x+1-\sqrt 2)+E(x+1+\sqrt 2)]\\ &\\ &\text{Para x= 0}\\ &\\ &1=-C \implies C=-1\\ &\\ &\text {El coeficiente de la x es:}\\ &\\ &-B+2C = 1\\ &-B-2 = 1\\ &B=-3\\ &\\ &\text {el coeficiente de }x^2 \;es\\ &-A+2B+C = 1\\ &-A-6-1 = 1\\ &A=-8\\ &\\ &\text {el coeficiente de }x^3\;es\\ &2A+B+D(1-\sqrt 2)+E(1+\sqrt 2) = 0\\ &-19+D(1-\sqrt 2)+E(1+\sqrt 2) = 0\\ &\\ &\text {el coeficiente de }x^4\;es\\ &\\ &A+D+E=0\\ &-8 +D+E = 0\\ &D =8-E\\ &\\ &\\ &-19+(8-E)(1-\sqrt 2)+E(1+\sqrt 2)=0\\ &\\ &E(1+ \sqrt 2-1+\sqrt 2)=19-8(1-\sqrt 2)\\ &\\ &E = \frac{11+8 \sqrt 2}{2 \sqrt 2}= \frac{16+11 \sqrt 2}{4}\\ &\\ &\\ &D = 8-\frac{16+11 \sqrt 2}{4}=\frac{16-11 \sqrt 2}{4}\\ &\end{align}$$Verificado con Máxima que está bien:
radcan(-8/x -3/x^2 -1/x^3 +(16-11*sqrt(2))/(4*(x+1+sqrt(2)))+(16+11*sqrt(2))/(4*(x+1-sqrt(2))));
Y la respuesta que da es esta:
(x^2+x+1)/(x^5+2*x^4-x^3)
Y esto es lo que se hacer. La segunda parte tendría que estudiarla porque ahora mismo no me acuerdo si la di y si la di no me acuerdo.
Dame tiempo para estudiarlo y terminarlo o si ya tienes suficiente me lo dices. Pero no cierres la pregunta hasta que te diga, no sea que lo esté intentando y no sirviera para nada por haberla cerrado.
Y ahora hacemos el desarrollo de cada una de las 5 fracciones. Puesto que he tomado el 0 como centro de la serie los fracciones de A, B y C ya están desarrolladas, cada una tiene un simple sumando.
Vamos a desarrollar las de D y E
$$\begin{align}&\frac{4-\frac{11 \sqrt 2}{4}}{x+1+\sqrt 2}=\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{\frac{(1+\sqrt 2)(x+1+\sqrt 2)}{1+\sqrt 2}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{(1+\sqrt 2)} \frac {1}{1+\frac{x}{1+\sqrt 2}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{(1+\sqrt 2)} \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{-x}{1+\sqrt 2}\right)^n =\\ &\\ &\\ &\\ &\left(4-\frac{11 \sqrt 2}{4}\right) \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{(1+\sqrt 2)^{n+1}} \; Si |x|\lt 1+\sqrt 2\\ &\\ &\\ &\text{------------------}\\ &\\ &\frac{4-\frac{11 \sqrt 2}{4}}{x+1+\sqrt 2}=\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{\frac{x(x+1+\sqrt 2)}{x}}=\\ &\\ &\\ &\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{x}\frac{1}{1+\frac{1+\sqrt 2}{x}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{x}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( -\frac{1+\sqrt 2}{x} \right)^n =\\ &\\ &\\ &\left(4-\frac{11 \sqrt 2}{4}\right) \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1-\sqrt 2)^n}{x^{n+1}} \;\;Si |x|\gt 1+\sqrt 2\\ &\\ &\end{align}$$Bueno, ya he hecho algo más. La fracción con E se calcula por analogía.
Ahora espero respuesta de si necesitas que continúe o ya lo puedes hacer tú.
lo demás podría hacerlo por mi misma, pero si que hay otro pregunta que dice: hacerlo para k=Z3 Y Q.
Pues me pillas en fuera de juego. Todo lo que he hecho ha sido por el articulo de la wikipedia, algún otro y algún video que consulté. Pero esto que me pides ya es demasiado, necesitaría cuanto menos que me dijeras el libro donde estudiáis para ver si lo encuentro en internet. Es que ni idea de como puede ser la serie de Laurent para otros cuerpos que no sean el de los números complejos sin haberlo estudiado antes en algún sitio.
