Estadística matemática con aplicaciones 5.58

Carito 1557!

5.58) Pues como dice que son dependientes vernos que el producto de las funciones de densidad marginales es distinto de la función de densidad conjunta.

Veamos primero cuáles son los límites de integración.

Puesto que

y1 + y2 <=2 ==> y2 <= 2 - y1

y1 <= y2 <= 2 - y1

2y1 <= 2

y1<= 1

Los límites son

0 <= y1 <= 1

y1 <= y2 <= 2 - y1

$$\begin{align}&f_1(y_1)=\int_{y_1}^{2-y_1}6y_1^2y_2dy_2 =\\ &\\ &\\ &\left[ 3y_1^2y_2^2\right]_{y_1}^{2-y_1}=3y_1^2(2-y_1)^2-3y_1^4 =\\ &\\ &\\ &12y_1^2-12y_1^3\\ &\\ &\\ &\\ &f_2(y_2)= \int_0^1 6y_1^2y_2dy_1 =\\ &\\ &\\ &\left[  2y_1^3y_2 \right]_0^1= 2y_2\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &f_1(y_1)f_2(y_2) = (12y_1^2-12y_1^3)2y_2\neq \\ &6y_1²y_2 =f(y_1,y_2)       \end{align}$$

Luego las variables son dependientes.

Y eso es todo.