Sean p y g primos distintos. Supóngase que H es un subconjunto propio de los enteros y que H es un g

Si tuviese el elemento p tendría obligatoriamente estos otros dos
pq porque es p+p+...+p siendo q los sumandos
p^q porque es p+p+ ...+p siendo p^(q-1) lo sumandos.
Y no tiene porque tener estos otros dos
p+Q porque al ser primos q no es múltiplo de p y por lo tanto p+q no es múltiplo de p
q^p porque al ser q primo, esa potencia no es múltiplo de p
Luego tenemos 3 elementos y los tres son múltiplos de p. Podemos tomar como grupo H al de los múltiplos de p y los otros dos elementos no entrarían porque no son múltiplos de p.

Supongamos que no entra p en el grupo y si entra p+q
iNo pueden entrar pq, p^q ni q^p porque son coprimos con p+q ya que p+q no es múltiplo de p ni de q. Y dos coprimos tienen mcd=1 y hay una combinación lineal de ellos de cuya suma es 1, y una vez tengamos el 1 en el grupo ya tendremos todos los elementos y entonces estarán los cinco en vez de tres como pedían.
Supongamos no entra p ni p+q, entonces tendrán que entrar los otros tres. Pero pasa lo mismo que antes p^q y q^p son coprimos, luego hay una combinación lineal de ellos que da resultado 1 y el grupo H será el de todos los números enteros, con lo que entrarán los cinco.

Luego si no entra p llegamos a absurdos. Por lo tanto tiene que entrar p y entonces entran por obligación pq y p^q, tomaremos como H el subgrupo de los múltiplos de P y los otros dos no entrarán.

Eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. No olvides puntuar.