Problema ecuaciones diferenciales nh
Tengo que resolver el siguiente problema :
Sea g : R a R una cierta funcion. Se sabe que y(x) = C1e^x + C2e^-x + g(x) es
solucion de la ecuacion diferencial y''+ ay'+ by = -cos x para todos los valores de C1y C2
reales.
Hallar a € R, b € R.
1 Respuesta
Sustituimos los valores de y, y', y'' en la ecuación diferencial y veamos si se puede calcular
y' = C1·e^x - C2·e^(-x) + g'(x)
y'' = C1·e^x + C2·e^(-x) + g''(x)
C1·e^x + C2·e^(-x) + g''(x) + a[C1·e^x - C2·e^(-x) + g'(x)] + b[C1·e^x + C2·e^(-x) + g(x)]=-cosx
C1·e^x(1+a+b) +C2·e^(-x)(1-a+b) + g''(x) + ag'(x) + bg(x) = -cosx
Para que esto pueda suceder para cualquier C1 y cualquier C2 no queda otro remedio que los términos que tienen C1 y C2 como factor sean 0
C1·e^x(1+a+b) = 0 para todo C1 si y solo si 1+a+b=0
C2·e^(-x)(1-a+b) = 0 para todo C2 si y solo si 1-a+b= 0
y para resolver ese sistema de ecuaciones las sumamos y queda
2 + 2b = 0
b=-1
y ahora calculamos a en la primera
1+a-1= 0
a=0
Luego las constantes son
a=0
b=-1
Y eso es todo.
