Función de densidad conjunta

Pues para hacer el cambio de variable en la integral de la función de densidad vamos a necesitar primero expresar X e Y como funciones de Z y W. Tenemos

Z = X+Y

W= X-Y

Si las sumamos

Z+W = 2X

X=(Z+W)/2

Y si las restamos

Z-W = 2Y

Y = (Z-W)/2

Luego el cambio de variable es

X=(Z+W)/2

Y=(Z-W)/2

En los cambios de variable de integrales múltiples hay que multiplicar por el Jacobiano

$$J=\begin{vmatrix}
\frac{\partial X}{\partial Z}&\frac{\partial X}{\partial W}\\
\\
\frac{\partial Y}{\partial Z}&\frac{\partial X}{\partial W}   
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac 12&\frac 12\\
&\\
\frac 12&-\frac 12
\end{vmatrix}=
\\
·
\\-\frac 14-\frac 14=-\frac 12$$

Por lo que semultiplica es por el valor absoluto del Jacobiano 1/2

La integral veja era

$$\begin{align}&\int_0^1\int_0^12y(2x^2 + y^4)dydx\\ &\\ &\\ &\text{La nueva es}\\ &\\ &\int_0^1\int_{¿?}^{¿?}2 \frac{z-w}{2}\left[2 \left(\frac{z+w}{2}\right)^2 + \left(\frac{z-w}{2}\right)^4\right]\ \frac 12dwdz=\\ &\\ &\\ &\int_0^1\int_{¿?}^{¿?}\frac{(z-w)}{4}\left[(z+w)^2 + \frac{(z-w)^4}{8}\right]dwdz=\\ &\\ &\\ &\int_0^1\int_{¿?}^{¿?}\left[\frac{(z-w)(z+w)^2}{4} + \frac{(z-w)^5}{32}\right]dwdz\end{align}$$

Como puedes ver faltan los límites para la w no son tan claros

Los límites de x, y eran un cuadrado con los puntos

(1,0) (1,1)

(0,0) (0,1)

Aplicándoles la definición de Z y W tendremos los nuevos vértices

(1/2, 1/2) (1,0)

(0,0) (1/2, -1/2)

Los cuales forman un cuadrado puesto como rombo entre (0,0)(0,1) en el eje X y con altura 1/2 por encima y debajo del eje X.

La definición de los límites es algo complicada

0 <= z <= 1; |w|<=z si z<=1/2 ; |w|<1-z si z>1/2

dicho en forma compacta pero menos útil es

0 <= z <= 1; |w| <= min(z,1-z)

Luego la función de densidad es lo que tenías arriba dentro de la integral entr esos límites que acabo de calcular y cero en el resto.

En la practica esto significa que para calcular las marginales, esperanzas, etc. habrá que hacer dos integrales, una entre 0<=z<=1/2 y otra entre 1/2 < z < 1.

Mira, sale demasiado complicado y la integral de la función de densidad no da 1 sino 3/128. Luego no está bien lo que hice

¿Puede ser que que no haya interpretado bien el enunciado y las variables y fueran

(Z,W)=(X+Y^2, X-Y^2)?

Te lo escribo con el editor para que lo veas bien.

$$(Z, W) = (X+Y^2, X-Y^2)$$

Es que además me suena que el problema que me mandaron era este que digo ahora.

Pues si que son difíciles y este el que más. Si no te importa puntúa aquí y manda la pregunta de nuevo, llevo toda la tarde medio atascado con esto, no es un problema con la misma categoría que otras preguntas. Yo no recuerdo si en Estadistisca de curso 3º de Matemáticas dimos esto. De manera que me parece una pasada que un médico tenga que estudiar esto.