Circulo

Para poder determinar si es o no una circunferencia, del modo en el que te preguntan seguro que si lo es, lo que debes hacer es completar cuadrados.
Tenemos que:
3x^2+3y^2-2x+4y-(11/9)=0
Primero, nos interesa que los coeficientes de x^2 e y^2 sean 1. Por lo que hacemos todo entre 3.
3(x^2+y^2-(2/3)x+(4/3)y-(11/27))=0
Y nos quedaría:
x^2+y^2-(2/3)x+(4/3)y-(11/27)=0
Ahora:
si recordamos un poco la suma y resta del cuadrado:
(a+b)^2= a^2+b^2+2ab
(a-b)^2= a^2+b^2-2ab
Por lo que:
x^2+y^2-(2/3)x+(4/3)y-(11/27)=0
x^2-(2/3)x+y^2+(4/3)y-(11/27)=0
Consideremos y fijandonos en las reglas del cuadrado de la suma y la resta:
x^2-(2/3)x.
Sabemos que a=x; debemos hallar b.
Luego:
-(2/3)x = -2ab-->
-(2/3)=-2b;--> b = 1/3
Luego
(x-(1/3))^2= x^2-2*(1/3)*x+(1/3)^2=
= x^2-(2/3)x+(1/9)
Luego:
x^2-(2/3)x = (x-(1/3))^2-(1/9).
Del mismo modo:
y^2+(4/3)y
a=y;
(4/3)*y=2ba;(a=y)
(4/3)=2b;b= 2/3.
Luego:
(y+(2/3))^2 = y^2+(4/3)y+(2/3)^2=
= y^2+(4/3)y+(4/9).
Luego:
y^2+(4/3)y = (y+(2/3))^2-(4/9).
Por tanto:
x^2-(2/3)x+y^2+(4/3)y-(11/27)=0
(x-(1/3))^2-(1/9)+(y+(2/3))^2-(4/9)=11/27
(x-(1/3))^2+(y+(2/3))^2=11/27+(1/9)+(4/9)
Reduciendo a comun denominador el termino independiente:
(x-(1/3))^2+(y+(2/3))^2 = 26/27
Como la ecuacion general de una circunferencia es:
(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2
Donde (x0, y0) es el centro y r el radio,
Tenemos que nos encontramos ante una circunferencia y el centro es
(1/3,-2/3) y el radio r =raiz(26/27).
Saludos. Si tienes alguna duda, dímelo.