Lógica y Conjuntos / Cálculo Diferencial: Demostración
Hola Valeroasm: Sabemos que...
$$f(x) = \left\{
\begin{array}{l l}
x-1 & \quad \text{if x < 2}\\
x^2 & \quad \text{if 2 =< x}\\
\end{array} \right.$$... Es una función seccionada. Demuestre que |x+2||x-3| es una función seccionada.
Gracias.
1 Respuesta
El enunciado confunde algo. Entonces lo primero debe ser para dar un ejemplo de función seccionada mientras que lo segundo es la pregunta. Luego los datos de f(x) no valen para nada.
Siempre he estado tentado de hacer esas llaves pero me parecía complicado, esta vez lo intentaré.
Las funciones valor absoluto pueden considerarse como seccionadas por el punto donde cambia de signo el valor interno. Y si tenemos la combinación de 2 funciones con valor absoluto podemos tener más secciones de dos a lo mejor.
Como te decía, lo primero averiguamos los puntos donde el valor de dentro de los valores absolutos cambia de signo
x+2= 0
x=-2
en (-oo,-2] es negativa o cero
en (-2, +oo) es positiva
x-3=0
x=3
en (-oo,3] <= 0
en (3,+oo) >0
Tomamos los intervalos definidos por esos puntos de corte debemos hacer que en todos ellos el resultado de la multiplicación sea positivo, porque la función |x+2||x-3| es siempre positiva
(-Oo, -2] ambas son negativas luego el producto positiva, se puede dejar el producto de las funciones sin valor absoluto tal cual o cambiando el signo a las dos.
(x+2)(x-3) = x^2-x-6
(-2, 3] la primera es positiva y la segunda negativa, luego una de las dos tendremos que cambiarla de signo para que el resultado sea positivo
(x+2)(-x+3) = -x^2+x+6
(3,+oo) ambas son positivas, luego no hace falta cambiar el signo o hjacerlo en las dos a la vez.
Se haga como se haga el intervalo central no puede tener la misma expresión que los laterales.
(x+2)(x-3) = x^2-x-6
La función seccionada será.
$$f(x) = \left\{ \begin{array}· x^2-x-6 & \quad \text{si }x \le -2\\ -x^2+x+6 & \quad \text{si } -2 \lt x \le 3\\
x^2-x-6 &\quad \text{si }x>3 \end{array} \right.$$Se podría poner en solo dos secciones agrupando las las condiciones de la proimera y tercera. Ahí no sé que dirá la teoría que hayáis estudiado. Para mí es más claro ponerlo en tres secciones.
Y eso es todo.
