Problema de Cálculo Integral de área

La función es siempre positiva, luego no es necesario ni hacer gráfica ni calcular cortes con el eje X ni nada. Lo que si voy a hacer es asegurarme que esos límites están dentro del dominio de la función

9/2 - 9/4 = 9/4 > 0

27/4 - 81/16 = (108-81)/16 = 27/16 > 0

$$\begin{align}&\int_{3/2}^{9/4}\frac{dx}{\sqrt{3x-x^2}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{3/2}^{9/4}\frac{dx}{\sqrt{\frac 94-\frac 94+3x-x^2}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{3/2}^{9/4}\frac{dx}{\sqrt{\frac 94-\left(x-\frac 32\right)^2}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{3/2}^{9/4}\frac{\frac 23 dx}{\frac 23 \sqrt{\frac 94-\left(x-\frac 32\right)^2}}=\\ &\\ &\\ &\int_{3/2}^{9/4}\frac{\frac 23dx}{\sqrt{1-\left[\frac 23\left(x-\frac 32\right)\right]^2}}=\\ &\\ &\\ &\left[arcsen\left(\frac {2x}3-1  \right)  \right]_{3/2}^{9/4}=\\ &\\ &arcsen \left(\frac{18}{12}-1\right)- arcsen\left(\frac 66-1\right)=\\ &\\ &arcsen \left(\frac 12\right)-arcsen 0 = \frac{\pi}6\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.