Estadística matemática con aplicaciones 5.32

Carito 1557!

L densidad marginal de Y1 es :

$$\begin{align}&f_1(y_1)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y_1,y_2)dy_2=\\ &\\ &\\ &\int_{y_1}^{2-y_1}6y_1^2y_2dy_2 =\\ &\\ &\\ &\left[ 3y_1^2y_2^2\right]_{y_1}^{2-y_1}=\\ &\\ &\\ &3y_1^2(2-y_1)^2-3y_1^4 =\\ &\\ &12y_1^2-12y_1^3 \;\;\;si \;\;0 \le y_1 \le1;\;\; 0\; si\;no\\ &\\ &\text{De momento los límites son los de una b}eta\\ &\\ &12y_1^2(1-y_1)=\frac{y_1^2(1-y_1)}{\frac{1}{12}}=\frac{y_1^2(1-y_1)}{\frac{2!·1}{(4!)}}=\\ &\\ &\\ &\frac{y_1^2(1-y_1)}{\frac{Gam ma(3)Gam ma(2)}{Gam ma(3+2)}}=\frac{y_1^2(1-y_1)}{\beta(3,2)}\end{align}$$

Luego es una Beta(2,3)

Y no funcionan las letras griegas mayúsculas, voy a probar si con Windows si funcionan, dejaré el Linux y mando ya la respuesta momentánea por si se pierde.

Nada, es culpa del editor de ecuaciones que no admite algunas letras griegas mayúsculas. Asi que la Gamma habrá que escribirla como se pueda.

b)

Se acabó, las variables serán X e Y. La X será la Y1 y la Y será la Y2, es inhumano tener que ir poniendo cien mil subíndices en cada línea no se avanza nada, te puedes equivocar y no se puede escribir sin el editor.

Asi que la función es:

6·x^2·y si 0 <= x <= y; x+y <= 2

Y la función de densidad marginal de y es:

Si y €[0,1]

fy(y) = $6x^2y dx con x€[0,y]=

2x^3·y con x€[0,y] = 2y^4 si y €[0,1]

Si y €[1,2}

fy(y) =$6x^2·y dx con x€[0,2-y]=

2x^3·y con x €[0,2-y] = 2y(2-y)^3 si y€[1,2]

Si y no pertenece a [0,2]

fy(y)=0

c) La función de densidad condicional de Y dado X=x es

f(y|x) = f(x,y) / fx(x) = 6·x^2·y/(12x^2-12x^3) = y/(2-2x) si 0<=x<=y; x+y<=2, cero fuera de eso

d) P(Y<1.1 | X=0.6) =$f(y|x) dy=

$ydy/(2-2·0.6) con y €[0, 1.1]=

$ydy/(0.8) con y €[0, 1.1]=

$(y^2)/1.6 con y €[0, 1.1] =

(1,1)^2 / 1.6 = 1.21/1.6 = 0.75625

Y eso es todo.