Subgrupos normales 1.. Probar que existe un subgrupo

La intersección de subgrupos es un subgrupo ya que se cumple

i) Es interna si a y b pertenecen a todos el producto también pertenece a todos

i) No es vacío porque e pertenece a todos

Ii) Dados a, b de la intersección vamos a ver que a·b^-1 también pertenece a la intersección.

b^-1 pertenece a cada uno luego pertenece a la intersección

a·b^-1 € pertenece a la intersección ya que pertenece a cada subgrupo de la intersección.

Ahora tomamos H el subgrupo formado por la intersección de todos los subgrupos de orden m. Este subgrupo no tiene porque tener orden m puede ser menor.

Nos dicen que xHx^-1 es un subgrupo de orden m para todo x € G, luego

H está incluido en todo xHx^-1 € H con x€G

Luego para todo h € H y para todo x €G existe f €H tal que h = xfx^-1

Como h^-1 € H, para todo x€G existirá d € H tal que h^-1 = xdx^-1

Operando por x^-1 a izquierda y x a derecha tendremos

x^-1·h^-1·x = d € H

Y aplicando el inverso

x·h·x^-1 = d^-1 € H

Luego dado h € H para todo x € G se cumple x·h·x^-1 € H.

Esa es la definición de que H es un subgrupo normal de G.

Y eso es todo.