La intersección de subgrupos es un subgrupo ya que se cumple
i) Es interna si a y b pertenecen a todos el producto también pertenece a todos
i) No es vacío porque e pertenece a todos
Ii) Dados a, b de la intersección vamos a ver que a·b^-1 también pertenece a la intersección.
b^-1 pertenece a cada uno luego pertenece a la intersección
a·b^-1 € pertenece a la intersección ya que pertenece a cada subgrupo de la intersección.
Ahora tomamos H el subgrupo formado por la intersección de todos los subgrupos de orden m. Este subgrupo no tiene porque tener orden m puede ser menor.
Nos dicen que xHx^-1 es un subgrupo de orden m para todo x € G, luego
H está incluido en todo xHx^-1 € H con x€G
Luego para todo h € H y para todo x €G existe f €H tal que h = xfx^-1
Como h^-1 € H, para todo x€G existirá d € H tal que h^-1 = xdx^-1
Operando por x^-1 a izquierda y x a derecha tendremos
x^-1·h^-1·x = d € H
Y aplicando el inverso
x·h·x^-1 = d^-1 € H
Luego dado h € H para todo x € G se cumple x·h·x^-1 € H.
Esa es la definición de que H es un subgrupo normal de G.
Y eso es todo.
