Subcampo de R donde pi es algebraico.
Ojalá me puedas ayudar con esto.
Sabemos que pi es trascendente sobre Q. Encuentre un subcampo F de R tal que pi sea algebraico de grado 3 sobre F.
1 Respuesta
Hola! es de mi clase Álgebra Abstracta II, no se exactamente de que libro lo sacó la maestra.
Pero la bibliografía que nos dió es:
1.Larry C. Grove, Álgebra, Academic Press 1983.
2. I.N, Herstein, Álgebra Abstracta, Grupo editorial Iberoamericano, 1986.
3.Gentile, Estructuras Algebraicas, OEA 1970.
Si, ya recuerdo esa lista de libros. Solo puede descargar el Hernstein. El Gentile debe ser la leche con 7 volúmenes, pero no hay forma de descargarlo.
Tu lo estarás estudiando ahora y lo sabrás mejor. Yo recuerdo que existían las extensiones de los cuerpos que añadías algúnos elementos al cuerpo y el mínimo cuerpo que contenía el cuerpo original y esos elementos se llamaba extensión.
Entonces debemos hacer que Pi sea algebraico en la extensión pero de grado 3, o sea que sea solución de un polinomio de grado 3 pero no lo sea de grado menor.
Yo creo que el siguiente cuerpo es el que piden:
$$F=\mathbb{Q}[\sqrt[3]{\pi}]$$Bueno, en todos sitios donde he puesto cuerpo pon campo que es como los llaman por influencia anglosajona.
Y eso es lo que puedo hacer, yo creo que no piden más.
Siguiendo tu idea, no sería
$$F=\mathbb{Q}[{\pi}^3]$$
Si, tienes razón. Pi sería la solución del polinomio
x^3 - Pi^3 =0
mientras que como pi^2 no pertenecería a la extensión, el polinomio
x^2 - Pi^2 = 0
No seria un polinomio de F y no habría polinomio de grado 2 en F cuya solución fuese Pi.
La verdad que esto lo tenía muy olvidado.
