Ayuda con ejercicio 18 pagina 119

No sé si quieren decir que lo demostremos de las dos formas o de la forma que queramos.

Con epsilon y delta es bastante difícil. Se puede demostrar que esa expresión tiende a cero pero es difícil precisar el delta que se necesita.

$$\begin{align}&\left| \frac{xyz}{x^2+y^2+z^2} \right|\le \left| \frac{xyz}{x^2} \right|=\left| \frac{yz}{x} \right|\\ &\\ &\\ &\text{De igual forma}\\ &\\ &\left| \frac{xyz}{x^2+y^2+z^2} \right|\le \left| \frac{xyz}{y^2} \right|=\left| \frac{xz}{y} \right|\\ &\\ &\\ &\\ &\left| \frac{xyz}{x^2+y^2+z^2} \right|\le \left| \frac{xyz}{z^2} \right|=\left| \frac{xy}{z} \right|\\ &\\ &\\ &\text{Multiplicando las tres}\\ &\\ &\left| \frac{xyz}{x^2+y^2+z^2} \right|^3\le \left| \frac{yz\,xz\,xy}{xyz} \right|=|xyz|\\ &\\ &\left| \frac{xyz}{x^2+y^2+z^2} \right|\le \sqrt[3]{|xyz|}\\ &\\ &\end{align}$$

Lo cual tiende a cero cuando (x,y,z)-->(0,0,0). Pero como te decía, si alguien sabe encontrar el delta que venga y me lo diga.

Y en coordenadas esféricas es:

$$\begin{align}&x=r\,sen\varphi\,\cos \theta\\ &y=r\,sen\varphi\,sen \theta\\ &z=r\,\cos\varphi\\ &\\ &\text{Haciendo el cambio de variable queda}\\ &\\ &\lim_{r\to 0}\frac{r^3 sen^2\varphi\,\cos\varphi\,sen\theta\,\cos\theta}{r^2}=\\ &\\ &\lim_{r\to 0}{r\; sen^2\varphi\,\cos\varphi\,sen\theta\,\cos\theta}\end{align}$$

Todos los senos y cosenos que hay están acotados por [-1, 1] luego cuando r tiende a cero el producto tiende a 0.

Y eso es todo.