Solución ejercicio 25 pagina 355
Puedes ayudarme por favor con el ejercicio 25 de la siguiente imagen:
1 Respuesta
W ={(x,y,z) | x^2+y^2<=1, z>=0, x^2+y^2+z^2<=4}
X puede tomar valores entre -1 y 1, si tomara valores mayores en valor absoluto no se cumpliría la primera condición.
Y puede tomar los valores que le deja la condición primera
y^2 =1-x^2
y = +-sqrt(1-x^2)
luego los límites de y son -sqrt(1-x^2) y sqrt(1-x^2)
z tedrá limite inferior 0 y el superior será
z^2 = 4-x^2-y^2
z = sqrt(4-x^2-y^2)
Luego la integral es
$$\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}}dz\,dy\,dx$$Y eso es todo.
valeroasm esa integral es difícil de calcular? me puedes dar una breve indicación y yo la termino
El ejercicio no pide hacer la integral, simplemente pide plantearla. Yo creo que si es complicada, más que nada porque en la página te tienes quien matar con el editor de ecuaciones y te cuesta 5 veces o más que lo que te costaría escribiéndolo a mano.
La primera integración está clara
$$\begin{align}&\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}}dz\,dy\,dx=\\ &\\ &\\ &\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{4-x^2-y^2}\;dy\,dx\\ &\\ &y=\sqrt{4-x^2}sen\,t\\ &dy=\sqrt{4-x^2}cost\\ &\end{align}$$Inténtalo si quieres el resultado sería
$$\begin{align}&\int_{-1}^1 \left((4-x^2)arctg\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{3} \right)+\sqrt 3 \sqrt{1-x^2}\right)dx\\ &\\ &\text{Y el resultado es}\\ &\\ &\pi\left(\frac {16}{3}-2 \sqrt 3 \right)\\ &\end{align}$$Pero como te decía, el ejercicio no pide la integral y es bastante complicado hacerla, yo la he hecho con el programa Derive ya que el WolframAlpha me decía que se había excedido el tiempo de computación.
