Como se que el conjunto S me genera R²
hola espero me puedan ayudar miren quien me puede explicar estos dos ejercicios de como el conjunto S genera R² o no lo genera pero como resolverlos se los agradeceré
s= {(2,1)(-1,2)}
s= (-3,5)
s= {(1,3)(-2,-6)(4,12)
por favor ayúdenme lo único q se esq el 2do y tercero según yo no lo generan pero por favor díganme como resolverlo con el proceso no solo porque lo dicen o porque saben quiero saber como resolverlo
1 Respuesta
R^2 es un espacio de dimensión 2. Para generarlo es necesario un conjunto que tenga dos vectores linealmente independientes
El conjunto 1º es
2 1
-1 2
Son linealmente independientes, puedes verlo porque dos vectores son dependientes si son proporcionales y aquí no son proporcionales ya que el cociente de las coordenadas primeras es 2 y el de las segundas 1/2.
O puedes verlo calculando el determinante
2·2 - 1(-1) = 4+1 = 5
Luego el conjunto 1 genera R^2
El conjunto 2 no lo genera, son necesarios dos vectores al menos para poder generarlo
El conjunto 3 es
(1,3) (-2,6) (4,12)
El segundo vector es proporcional al primero
(-2,6) = -2(1,3)
Luego no aporta nada a lo que genera (1,3)
Y el tercero también es proporcional al primero
(4,12) = 4(1,3)
Luego tampoco aporta nada.
Nos quedamos con un solo vector linealmente independiente y uno solo no puede generar R^2
Luego el único que genera R^2 es el primero.
Y eso es todo.
muchas gracias solo quiero ver si tiene algún procedimiento para sacarlo
osea para que yo pueda determinar otros sin problemas
El procedimiento es que cuando el número de vectores es menor que la dimensión del espacio no pueden generarlo. Y cuando nos dan tantos vectores o más que la dimensión del espacio los colocamos unos debajo de otros en filas y hacemos las operaciones que supongo conocerás para hacer ceros por debajo de la diagonal. Una vez hechos todos los ceros posibles habrá quedado un determinado número de filas que no tienen todo ceros.
Si ese número de filas es menos que la dimensión no se genera el espacio y si es igual a la dimensión si se genera.
Y cuando el número de vectores es igual a la dimensión también puedes usar el método del determinante de las matrices cuadradas. Si es 0 no se genera el espacio y si es distinto de cero si se genera el espacio.
Y eso es todo.
