Operaciones Binarias ejercicio ...ayudaaaaaaa
HOLA QUERÍA SABER SI ME PUEDEN COLABORAR!!!
si el mcd(n,m) = 1; donde n, m pertenecen a los enteros
Demostrar que:
la función de
x-------->x
f(x) = x.n mod n, ademas x=( 1,2,3...n)
¿ ES biyectiva?
1 respuesta
okk siiii hay un error por parte mia......
es f(x) = x.n mod m
Me escribo aquí el resumen para tenerlo a la vista:
mcd(n,m)=1; f(x)=x·n mod m
X es un grupo finito de n elementos. lo has identificado como {1,2,...n} pero teniendo en cuenta que f(x): X---->X es resto de la división, debe ser X ={0,1,..,n-1}, lo haré así.
A ser n un número finito, inyectiva ==> biyectiva, luego basta con demostrar que es inyectiva
Sea f(x) = f(y) y tenemos que demostrar que eso implica x=y
x·n mod m = y·n mod m
Tomaremos x >= y, si están al revés les cambiamos el nombre
Sea r ese resto que tienen igual
xn=am+r
yn=bm+r
restando
n(x-y) =(a-b)m
n(x-y)/m = a-b
Esto significa que m divide a n(x-y), pero m no tiene ningún factor primo común con n ya que son primos entre si, luego:
m dividirá a (x-y)
y esto tiene estas dos posibilidades a y b
a) x-y = 0 en cuyo caso ya estaría demostrado x=y
b) x-y <> 0
Supuesto que hemos x>=y tenemos n > x >= x-y >= 0
Como m divide a x-y debe ser x-y >= m, luego
n > x >=x-y >=m >=0
n>m
Esto ya es chocante pues en ningún momento nos han dicho como tienen que ser la relación de orden entre n y m
Pero aun así seguiríamos con dos variantes
b1) Si n <= m nos da un absurdo luego debe ser x-y=0 ==> x=y
B2) Si n > m. Esto es lo que me ha tenido sin contestarte en estos días. Yo tenía preconcebida la idea de que tenía que ser biyectiva, pero no lo es porque el conjunto imagen tiene menos elementos...
ESPERA, creo que lo que está mal es el enunciado. Tu dices:
f(x) = xn mod m
Siendo f: X = {1, 2, ..,n} ----> X= {1,2,...n}
Eso no puede ser ni tiene sentido porque f puede valer 0 y el 0 no está en el conjunto imagen
Creo que el enunciado debería ser
f: X = {0, 1, ..., n-1} en X = {0, 1, ..., n-1)
f(x) = xm mod n
Como ves he cambiado los sitios de la n y m para que coincidan el conjunto origen y el imagen.
Entonces si que se podría empezar a considerar que f sea biyectiva.
Pues te pido de nuevo que revises el enunciado. Y si es como digo yo lo hacemos, y si es de otra forma pero es un enunciado lógico lo intento hacer también.
