Geometría Analítica: La Hipérbola

Dada una recta Ax+By+C=0 el vector director es (-B, A)

luego el vector director de la recta 6x-y = 4 es (1,6)

Y el vector perpendicular es a (1,6) es (-6,1)

Luego la ecuación de las rectas perpendiculares pasando por un punto por ejemplo (a, 0) es

(x-a)/(-6) = y/1

x -a = -6y

Despejamos la x por ejemplo

x = a-6y

y la introducimos en la hipérbola

$$\begin{align}&7\left(a-6y  \right)^2-12y^2 = -80\\ &\\ &7(a^2-12ay +36y^2)-12y^2 = -80\\ &\\ &7a^2-84ay +252y^2 -12y^2= -80\\ &\\ &240y^2 -84ay +7a^2+80= 0\\ &\\ &\\ &\text{Y será tangente si el discriminante es cero}\\ &\\ &84^2a^2-4·240(7a^2+80)=\\ &7056a^2 -6720a^2 -76800=0\\ &336a^2 =76800\\ &a^2=\frac{76800}{336}=1600/7\\ &\\ &a=\pm \frac{40}{\sqrt 7}\\ &\\ &\text{Luego volvemos a la ecuación de la recta}\\ &\\ &x-a=-6y\\ &\\ &x+6y-a = 0\\ &\\ &\text{Y las rectas tengentes son}\\ &\\ &x+6y - \frac{40}{\sqrt 7}= 0\\ &\\ &x+6y + \frac{40}{\sqrt 7}= 0\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.