Teoría de Números: Congruencias.

Ahora que lo veo tuve en fallo en el ejemplo precisamente, la parte final confundí el 8 con un 7 y aquí pongo la corrección

Vamos a ver un ejemplo
5x :~ 8 (mod 27)
Sustituimos 8 por un número congruente y que tenga factor común con 5
Los números congruentes con 8 son de la forma
8 + 27k
basta tomar k=1 y tenemos el 35
5x :~ 35 (mod 27)
podemos dividir entre 5 ya que 5 es coprimo con 27
x :~ 7 (mod 27)
luego 7 es la respuesta.
Vamos a comprobarla.
5·7 =35
35 (mod 27) = 8
Luego 35 :~ 8 (mod 27)

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Pues Mario, me esforcé todo lo que pude en demostrarlo y creo que no falta detalle, incluso demostré que no se puede dividir por cualquier número sino que tiene que ser un número coprimo con el módulo. Cosa que el texto no tenía en cuenta.

Es fundamental saber lo que significa una congruencia.

a :~ b (mod m) <==> existe k € z tal que a-b = km

Eso es algo que debes dominar como el Padre Nuestro. Y con sencillas deducciones se demuestran dos cosas

1) En una congruencia ax :~ b (mod m) podemos cambiar a por un número congruente con a (mod m) y podemos cambiar b con un número congruente con b (mod m) manteniéndose la congruencia. Es decir:

Si a :~ b (mod m) entonces

(a+km)x :~ b+jm (mod m) para todo k,j € Z

2) Dada una congruencia ax :~ b (mod m), si d es un divisor de a y b que es coprimo con m entonces

(a/d)x :~ b/d (mod m)

Y las demostraciones de esas dos proposiciones es lo que había en esa pregunta antes del ejemplo. Y la idea es que a través de una o varias divisiones lleguemos al final a una congruencia

x :~ c (mod m)

Que es la solución.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido, puede que necesites algo de esfuerzo pero es que más fácil no puede ser, esto con una enseñanza presencial se podría pulir hasta comprenderlo, pero por correo es muy complicado y costoso de explicar. Porque si no no haría falta maestros, con que los niños leyeran los libros sería suficiente.