Hallar la ecuación de la circunferencia

La distancia del centro a la tangente es el radio, luego podemos hacer que la fórmula de la distancia centro recta sea 5. Sea (x, y) el radio

|4x+3y-50| / sqrt(4^2+3^2) = 5

|4x+3y-50| / 5 = 5

|4x+3y-50| = 25

y por parte de la otra tangente

|3x-4y-25| /sqrt(4^2+3^2) = 5

|3x-4y-25| = 25

Según que el interior de los módulos sea positivo o negativo tenemos 4 combinaciones que nos darán los 4 centros de las 4 circunferencias que son solución.

Pero antes de resolver una a una vamos a hacer algo general que vendrá bien, multiplicaremos la primera por 4 y la segunda por 3

|16x + 12y - 200| = 100

|9x -12y - 75| = 75

1) Si los dos interiores son positivos

16x + 12y - 200 = 100
9x -12y - 75 = 75

Sumándolas

25x - 275 = 175

25x = 450

x = 450/25 = 18

9·18 -12y - 75 = 75

12y = 162 -150 =12

y =1

El centro es (18,1) y la ecuación

(x-18)^2 + (y-1)^2 = 25

2) Si el primer interior es positivo y el segundo negativo. Para que se dé la igualdad al quitar el módulo hay que poner el lado derecho negativo en la segunda ecuación

16x + 12y - 200 = 100
9x -12y - 75 = -75

sumándolas

25x -275 = 25

25x=300

x = 12

y = 9·12/12 = 9

La ecuación es

(x-12)^2 + (y-9)^2= 25

3) Si el primero es negativo y el segundo positivo. Aquí el lado derechao de la primera ecuación debe ponerse negativo

16x + 12y - 200 = -100
9x -12y - 75 = 75

Sumando

25x -275 = -25

25x = 250

x=10

y = (-100 -16·10+200)/12 = -60/12 = -5

Y la ecuación resultante es:

(x-10)^2 + (y+5)^2 = 25

4) Si los dos interiores son negativos hay que cambiar el lado derecho de los dos a negativo

16x + 12y - 200 = -100
9x -12y - 75 = -75

Sumando

25x-275 =-175

25x = 100

x=4

y= (-100 - 16·4+200)/12 = 36/12=3

Y la última circunferencia es

(x-4)^2+(y-3)^2=25

Y eso es todo.