Resolver la Inecuación

Melanny 1!

Primero hagamos algunas operaciones normales para simplificar un poco.

1000[(-1)^(n+1) + n + 2] < 3^(n+1)

Bueno, para empezar supongo que quieres decir que n es un número entero, porque para n racional o real no tiene sentido (-1)^x en muchos casos.

Ahora vamos a dividir el estudio en dos casos, si n es par o impar

1) Si n es par

entonces n+1 es impar y (-1)^(n+1)=-1

1000[-1+n+2] < 3^(n+1)

1000(n+1) < 3^(n+1)

3^(n+1)-1000(n+1) > 0

Consideramos la función real que engloba lo que tenemos y el resto de los números. Las soluciones se da cuando la función es positiva:

f(x) = 3^(x+1)-1000(x+1)

lim x-->-oo f(x) = 1/3^(+oo) - 1000(-oo) = 0 +oo = +oo

lim x -->+oo = 3^(+oo) - 1000(+oo) = +oo porque crece mucho más la función exponencial que la lineal en el +oo

La vamos a derivar e igualar a cero

f '(x) = 3^(x+1)·ln(3) - 1000 = 0

3^(x+1) = 1000/ln(3)

Y ahora extraemos logaritmos neperianos

(x+1)ln(3) = ln[1000/ln(3)]

(x+1) = ln[1000/ln(3)]/ln(3)

x = ln[1000/ln(3)]/ln(3) - 1 = 5,2021

Es importante resaltar que la respuesta a la igualación a cero de la derivada es única, luego decrece y luego crece o viceversa, no hace más cambios de crecimiento o decrecimiento.

Hallamos la derivada segunda que es:

f ''(x) = 3^(x+1)·[ln(3)]^2

Y como es siempre positiva, el punto critico es un mínimo.

Veamos que valor tiene la función en el punto crítico.

f(5,2021) = 3^(6,2021) - 1000(6,2021) = 910,2354 - 6202,1 = - 5291.8646

Es negativo y los limites en -oo y +oo son +oo, luego la función cortará dos veces al eje X.

Todos los puntos enteros pares antes del primer corte satisfacen la desigualdad y todos los puntos pares por detrás del segundo corte también la cumplen. Los intermedios son los que no la cumplen.

Bien, pues lo difícil es calcular los puntos de corte, no hay un método directo.

3^(n+1)-1000(n+1) > 0

Sabemos que 3^n+1 crece muy rápidamente, luego no hará falta tantear mucho para encontrar la solución. Simplemente debemos encontrar un intervalo donde estén los cortes, no hay que calcular la respuesta exacta

para n = -1 tenemos 3^0-1000(0) = 1 positivo

Para n = 0 tenemos 3^1 - 1000 = -997 negativo

Luego un corte está entre -1 y 0 y es el de la izquierda porque cambia de + a -.

Veamos el valor de la potencia 3^(n+1) para hacernos una idea

n=1 ==> 9

n=2 ==> 27

n=3 ==> 81

n=4 ==> 243

n=5 ==> 729

n=6 ==> 2187

n=7 ==> 6561

n=8 == > 19683

Y se ve que para n = 7

6561 - 1000(7+1) = -1439

Y para n = 8

19683 - 1000(8+1) = 11683

Luego entre 7 y 8 está la solución

Y en resumen, como n debía ser par, las soluciones para este caso son:

n <= -2 con n par

n >= 8 con n par

2) Si n es impar.

Entonces n+1 es par y (-1)^(n+1) = 1 la desigualdad que queda es:

1000[1+n+2] < 3^(n+1)

1000[3+n] < 3^(n+1)

No cuesta nada hacer el mismo proceso que antes y ver que la función tiene una forma parecida cortando dos veces al eje X

Para n = -4

1000(3-4) = -1000 < 3^(-4+1)

Para n = 3

1000(3-3) = 0 < 3^(-3+1)

Luego el primer corte está entre .-4 y -3

Y el segundo no será muy distinto del calculado antes

Para n = 7

1000(3+7) = 10000

3^(1+7) = 6561

No se cumple la desigualdad 1000[3+n] < 3^(n+1)

Mientras que para n = 8

1000(3+8) = 11000 < 19683 = 3^(1+8)

se cumple.

Luego la solución para este caso son los

números impares <=-5 y los impares >=9

Juntando las soluciones de ambos casos tenemos que la solución total es

...,-7, -6, -5, -4, -2, 8, 9, 10, 11,...

O si lo expresamos por exclusión casi mejor:

todos los números enteros salvo -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7

Y eso es todo, hemos empezado con mucho análisis pero hemos terminado casi con la cuenta de la vieja. No había otra forma.