¿Cual es la parte real y la parte imaginaria?

a)

La función exponencial para números complejos se define así:

$$\begin{align}&e^{x+iy}= e^x(cosy+i·seny)\\ &\\ &e^{2+i}= e^2(\cos 1+i·sen1)\\ &\\ &Re(e^{2+i}) = e^2cos1\\ &\\ &Im(e^{2+i}) = e^2sen1\end{align}$$

b) La función seno para números complejos se define asi:

$$\begin{align}&senz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\ &\\ &sen(1+i) =\frac{e^{i(1+i)}-e^{-i(1+i)}}{2i}=\\ &\\ &\frac{e^{-1+i}-e^{1-i}}{2i}=\\ &\\ &\frac{e^{-1}(cos1+isen1)-e(\cos(-1)+i·sen(-1)}{2i}=\\ &\\ &\frac{e^{-1}(cos1+isen1)-e(cos1 -i·sen1)}{2i}=\\ &\\ &\frac{(e^{-1}-e)cos1+i(e^{-1}+e)sen1}{2i}=\\ &\\ &\frac{-i(e^{-1}-e)cos1+(e^{-1}+e)sen1}{2}\\ &\\ &Re(sen(1+i))=\frac{(e+e^{-1})sen1}{2}\\ &\\ &Im(sen(1+i))=\frac{(e-e^{-1})cos1}{2}\end{align}$$

Tal vez conozcáis esta fórmula con la que no haga falta todo este cálculo:

sen(a+bi) = sena·cosh(b) + i·cosa·senh(b)

que yo habría abreviado así

sen(a+bi) = sena·chb + i·cosa·shb

pero la representación anglosajona impera por todo.

c) e^(3-i)

este es como el primero

$$\begin{align}&e^{3-i} = e^3(\cos(-1)+i·sen(-1)) =\\ &\\ &e^3(cos1-i·sen1) \\ &\\ &Re(e^{3-i}) = e^3cos1\\ &\\ &Im(e^{3-i}) = -e^3sen1\end{align}$$

d) cos(2+3i)

La función coseno para los complejas se define así.

$$cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$

Se harían cuantas como en el segundo, más fáciles incluso por no haber denominador complejo, pero vamos a usar la fórmula equivalente que se deduciría de esas cuentas.

$$\begin{align}&\cos(a+bi)=cosa·cosh(b) -i·sena·senh(b)\\ &\\ &Re(\cos(2+3i))=cos2·cosh(3)\\ &\\ &Im(\cos(2+3i))=-sen2·senh(3)\end{align}$$

Y eso es todo.