Subgrupo cíclico...G contiene un subgrupo cíclico?

H y K son cíclicos, luego existen sendos elementos h € H y k € K que cada uno genera su respectivo grupo. Se cumple

h^r = e

k^s = e

consideremos el grupo generado por el elemento hk

J = <hk>

Por ser abeliano podremos ordenar los factores dejando juntos todos los h y todos los k

(hk)^(rs) = h^(rs) · k^(rs) = e · e = e

Si otro exponente t cumple eso debe ser múltiplo de r y s. Porque si solo lo es de uno y no del otro quedará, suponiéndolo multiplo de r y no de s

(hk)^t = h^(ar) ·k^(bs+c) = h^(ar) · k^(bs) · k^c = e ·e · k^c = k^c que no es e porque c es distinto de s.

Y si no es múltiplo de nínguno será

x = ar+c = bs+d con c<>r y d <>s

El <> se uso desde tiempo inmemorial en informática para decir "distinto de".

(hk)^x = h^(ar) · h^c · k^(as) · k^d = e · h^c · e · k^d = h^c · k ^d

Y si esto va a ser el elemento neutro es porque son inversos, luego pertenecen al mismo subgrupo cíclico y son dos potencias de un misma base. Luego tendrán al menos esa base como factor común y no pueden ser primos entre sí

Luego todo x que cumpla

(hk)^x = e

Es múltiplo de r y s, luego es múltiplo del mínimo común múltiplo de r y s. Y como h y k son primos entre sí, su mínimo común múltiplo es rs. Por tanto rs es el primer exponente que consigue que hk elevado a él sea el elemento neutro y el grupo generado por hk tiene orden rs.