Integración por sustitución

A simple vista los 3 se realizan con sustituciones trigonométricas, veremos que pasa al trabajarlos.

1.

$$\begin{align}&\int{\frac{dx}{(\sqrt{9-x^2})^3}}\\ &\\ &x=3sen(\alpha)\\ &dx=3cos(\alpha)d(\alpha)\\ &{(\sqrt{9-x^2})^3}=3cos(\alpha)\\ &\\ &Entonces.\\ &\\ &\int{\frac{dx}{(\sqrt{9-x^2})^3}} =\int{\frac{3cos(\alpha)d(\alpha)}{(3cos(\alpha))^3}} \\ &\int{\frac{3cos(\alpha)d(\alpha)}{(3cos(\alpha))^3}} \\ &\int{\frac{d(\alpha)}{9cos^2(\alpha)}}\\ &\frac{1}{9}\int{\frac{d(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}\\ &\frac{1}{9}\int{sec^2(\alpha)}=\frac{tg(\alpha)}{9}\\ &\\ &\frac{tg(\alpha)}{9}=\frac{x}{9(\sqrt{9-x^2})}\end{align}$$

Use la sustitución del x=sen(alpha).

2.

$$\begin{align}&\int{\frac{5dx}{x^2(\sqrt{x^2+3)}}}=\int{\frac{5dx}{x^2(\sqrt{x^2+(\sqrt{3}^{2}))}}}\\ &\\ &x=\sqrt{3}tg(\alpha)\\ &dx=\sqrt{3}sec^2(\alpha)d\alpha\\ &\sqrt{x^2+(\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{3}sec(\alpha)\\ &\\ &Entonces:\\ &\\ &5\int{\frac{\sqrt{3}sec^2(\alpha)d\alpha}{(\sqrt{3}tg(\alpha))^2(\sqrt{3}sec(\alpha))}}\\ &5\int{\frac{sec^2(\alpha)d\alpha}{3tg^2(\alpha)sec(\alpha)}}\\ &\frac{5}{3}\int{\frac{sec(\alpha)d\alpha}{tg^2(\alpha)}}\\ &\frac{5}{3}\int{\frac{\frac{d\alpha}{\cos(\alpha)}}{\frac{sen^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}}\\ &\frac{5}{3}\int{\frac{\cos(\alpha)d\alpha}{sen^2(\alpha)}}\\ &\\ &u=sen(\alpha)\\ &du=\cos(\alpha)d\alpha\\ &\\ &\frac{5}{3}\int{\frac{du}{u^2}}=\frac{5}{3}\int{u^{-2}du}=\frac{5}{3}(-u^{-1})=-\frac{5}{3u}=-\frac{5}{3sen(\alpha)}\\ &\\ &-\frac{5}{3sen(\alpha)}=-\frac{5}{3(\frac{x}{\sqrt{x^2+\sqrt{3}^2}})}=-\frac{5(\sqrt{x^2+\sqrt{3}^2})}{3x}=-\frac{5(\sqrt{x^2+3})}{3x}\end{align}$$

La 2 fue un poco mas complicada pero cuando aprendes esos trucos ya no te sorprenderán, solo le di la forma a la integral para que se pueda resolver como sustitución trigonométrica.

La 3 te la dejo a ti, pues por tiempo y por lo largos de tipear que son estos ejercicios, no podre ayudarte, pues tengo muchas preguntas y el tiempo es poco.