Estadística matemática con aplicaciones 4.143

4.143)

En el ejemplo 4.13 que se menciona, nos dice que la función generadora de momento de de la Gamma es:

m(t) = 1/(1-Bt)^a

Recuerdo que a=alfa y B=Beta

La media es el momento primero alrededor al origen. Y el momento primero alrededor del origen es la derivada primera de la función generadora de momento evaluada en el cero.

m'(t) = a(1-Bt)^(a-1)·B /(1-Bt)^(2a) =

aB/(1-Bt)^(2a-a+1) =

aB / (1-Bt)^(a+1)

E(Y) = m'(0) = aB / (1-0)^(a-1) = aB/1 = aB

Luego Media = aB

Para calcular la varianza calcularemos E(Y^2) que es el segundo momento alrededor del origen. Y para ello hay que hacer la derivada segunda

Como m'(t) = aB / (1-Bt)^(a+1)

m''(t) = aB(a+1)(1-Bt)^a·B / (1-Bt)^(2a+2) =

a(a+1)B^2 / (1-Bt)^(a+2)

E(Y^2) = m''(0) = a(a+1)B^2 / (1-0)^(a+2) = a(a+1)B^2

Y para terminar

V(Y) = E(Y-2) - [E(Y)]^2 =

a(a+1)B^2 - (aB)^2 = a^2·B^2 + aB^2 - a^2·B^2 = aB^2

Luego Varianza = aB^2

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Manda más ejercicios cuando quieras.