¿Cual es el limite de esta función?
Lim x->2 ((x)^1/3 - (2)^1/3)/(x-2)
Intente evaluar por la izquierda y por la derecha y se aproximan por los dos lados a 0.2 pero en software me dice que el limite no existe.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Vamos a ver que puede hacerse. Hay un producto notable que va a servirnos que dice:
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
Para demostrarlo basta con comprobarlo
(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 +a^2·b+ab^2 - a^2·b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3
Y ahora lo que hay que hacer es aplicar este producto notable siendo:
a = x^(1/3)
b = 2^(1/3)
$$\begin{align}&\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt[3]x-\sqrt[3]2}{(\sqrt[3]x-\sqrt[3]2)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{2^2})}=\\ &\\ &\lim_{x \to 2}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{2^2}}=\\ &\\ &\frac{1}{\sqrt[3]4+\sqrt[3]4+\sqrt[3]4}=\frac{1}{3 \sqrt[3]4}\end{align}$$Esa es la respuesta exacta que hay que dar. Y la aproximación es
0.2099868416
Si el software te dice que no hay límite es que es un mal software.
Y eso es todo.
