Solución de una ecuación diferencial usando transformada de la place dudas y(2)=3 ; y'(2)=0

Estas cosas ni las recuerdo ni sé si las estudie. Y los problemas que estoy consultando son todos para las condiciones iniciales con t=0. Si no te han enseñado como hacerlos habrá que ingeniárselas.

Supón que hacemos un cambio de variable

u=t-2

$$\begin{align}&\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dt}= \frac{dy}{du}\\ &\\ &\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d \left(\frac{dy}{du}\right)}{du}·\frac{du}{dt}=\frac{d^2y}{du^2}\\ &\\ &y´´- y = u\\ &\\ &\text{Ahora y es función de u}\\ &y(u=0)= y(t=2) = 3\\ &y´(u=0) = y´(t=2) = 0\\ &\\ &s^2 \overline{y}-3s-\overline{y} = \frac{1}{s^2}\\ &\\ &\overline{y}=\frac{\frac{1}{s^2}-\frac{2}{s}+3s}{s^2-1}=\frac{1+3s^3}{s^2(s^2-1)}\\ &\\ &\overline{y}= \frac as+\frac{b}{s^2}+\frac{c}{s+1}+\frac{d}{s-1}\\ &\text{operando se concluye que}\\ &(a+c+d)s^3+(b-c+d)s^2-as-b= 3s^3+1\\ &b=-1\\ &a=0\\ &c+d=3\\ &-1-c+d=0\\ &Sumandolas\\ &-1+2d=3 \implies d=2\\ &c=1\\ &\\ &\overline{y}=-\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s+1}+\frac{2}{s-1}\\ &\\ &y=u + e^{-u}+ 2e^u\\ &\\ &\text{deshacemos el cambio, era u=t-2}\\ &\\ &y= t +e^{2-t}+2e^{t-2}\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.