Análisis matemático... Libro lima 7

La función suma se define así

(f+g)(x) = f(x)+g(x)

Si existen cotas superiores C1 y C2 para f y g

f(x) <= C1 para todo x € R

g(x) <= C2 para todo x € R

entonces

f(x) + g(x) <= C1+C2 para todo x € R

llamando C3 = C1+C2

(f+g)(x) = f(x) +g(x) <= C3

luego f+g está acotada superiormente.

Como (f+g)(X) es un conjunto de R acotado superiormente tiene un supremo en R

Sup(f) es una cota superior de f(X) y Sup(g) es una cota superior de g(X)

Por lo visto antes Sup(f)+Sup(g) es una cota superior de (f+g)(X). Como el supremo es la menor de las cotas superiores se cumplirá

Sup(f+g) <= Sup(f) +Sup(g)

Sean estas funciones del intervalo [0,1] en R

f(x) = x

g(x) = 1-x

(f+g)(x) = x+1-x = 1

Sup(f) = f(1) = 1

Sup(g) = g(0) = 1

Sup(f+g) = 1

Y entonces

Sup(f+g) < Sup(f) + Sup(g)

ya que

1 < 1+1 = 2

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Para el ínfimo definiremos

Sea f una función de X en R

Diremos que f está acotada inferiormente si el conjunto f(X) está acotado inferiormente

inf(f) = inf{f(x) | x € X}

Y el resultado será

Si f y g están acotadas inferiormente, la función f+g también lo está y tiene un ínfimo y se cumple

inf(f+g) > inf(f) + inf(g)

Demostración:

Si existen cotas inferiores C1 y C2 para f y g
f(x) >= C1 para todo x € R
g(x) >= C2 para todo x € R
entonces
f(x) + g(x) >= C1+C2 para todo x € R
llamando C3 = C1+C2
(f+g)(x) = f(x) +g(x) >= C3
Luego f+g está acotada inferiormente.

Como (f+g)(X) es un conjunto de R acotado inferiormente tiene un ínfimo en R
Inf(f) es una cota inferior de f(X) y inf(g) es una cota inferior de g(X)
Por lo visto antes Ing(f)+inf(g) es una cota inferior de (f+g)(X). Como el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores se cumplirá
Inf(f+g) >= Inf(f) + Inf(g)

El ejemplo es el mismo anterior, el ínfimo de f y g es 0 y el ínfimo de f+g es 1

Y eso es todo.