¿Cómo se encuentra la intersección de dos planos?

Trini rs!
Esta web va de capa caída por culpa del corrector ortográfico, si ves algun "por" fuera de lugar es que han cambiado la equis por eso. Y mira que les he dicho mil veces que no pueden hacer eso de cambiar lo que escribe el experto o usuario, pero no lo entienden.
Una de las formas de dar la ecuación de la recta en el espacio es definirla como la intersección de dos planos, siempre que no sean el mismo plano ni paralelos.
Así que con esas dos ecuaciones ya tienes dada la ecuación de la recta. No son paralelos ni coincidentes porque entonces tendrían proporcionales los coeficientes y aquí las tres proporciones son distintas 3, 1/2 y -2.
Otra cosa es que quieras dar la ecuación de la recta en otra forma distinta, por ejemplo mediante un punto y el vector director.
Para conseguir el punto supón un valor para cualquiera de las tres incógnitas, haz por ejemplo x=0 y te quedaría
3y-4z = -7
6y +2z = 6
Multiplicamos por -2 la primera y la sumamos a la segunda
2z +8z = 6 +14
10z = 20
z = 2
Y ahora como
6y + 2z = 6
6y + 4 = 6
6y = 2
y = 1/3
Luego el punto P = (0, 1/3, 2) pertenece a la recta
Y el vector director de la recta es el producto vectorial de los vectores directores del plano que se calcukla mediante determinantes
| i .j .k |
|3 3 -4 |
|1 6 2 |
i (3·2 +6·4) -j (3·2 + 4·1) + k (3·6 - 3·1) = 30i -10j +15k
Que podemos sustituir por este más sencillo dividiendo por 5
6i - 2j + 3k
Así la ecuación paramétrica, vectorial o como quieran llamarla de la recta será
r : (6t, 1/3-2t, 2+3t)
Dando valores a t conseguirás caulaquier punto de la recta.
También podríamos haber calculado un segundo punto de la recta y a traves de los dos puntos calcular la ecuación de la recta, pero creo que ester método es más fácil y más instructivo.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no pide aclaraciones y si ya está resuelto no olvides puntuar.