Determinar distancia de un punto a una recta

¡Hol Primitiva111!

La distancia punto a recta en el espacio es un tanto complicada.

Se tomarán dos puntos de la recta B y C

Calcularemos el doble del área del triángulo ABC mediante el módulo del producto vectorial AB x AC

Y si ese doble del área lo dividimos por el módulo de BC tendremos la altura del triángulo que es la distancia punto recta.

Comenzamos por tanto calculando dos puntos de la recta

Hacemos z=0

3x+2y =1

x-y =-1

La segundo por 2 la sumamos a la primera

5x =-1

x=-1/5

y=x+1 = -1/5+1 = 4/5

Luego B = (-1/5, 4/5, 0)

Hagamos z=1

3x+2y=-2

x-y= 0

De la segunda se deduce x=y

entonces en la primera tenemos

5x=-2

x=-2/5 = y

luego C = (-2/5, -2/5, 1)

Los vectores serán

AB = (-1/5, 4/5, 0) - (1, 2, 3) = (-6/5, -6/5, -3)

AC = (-2/5, -2/5, 1) - (1, 2, 3) = (-7/5, -12/5, -2)

BC = (-2/5, -2/5, 1) - (-1/5, 4/5, 0) = (-1/5, -6/5, 1)

Hacemos es producto vectorial AB x AC

|  i     j    k |
|-6/5  -6/5  -3 | = 
|-7/5 -12/5  -2 |

(12/5 - 36/5)i - (12/5 - 21/5)j + (72/25 - 42/25)k =

-(24/5)i + (9/5)j + (30/25)k =

-(24/5)i + (9/5)j + (6/5)k

El módulo del producto vectorial es

sqrt(24^2+81+36)/5 = sqrt(693)/5

Y el módulo de BC es

sqrt(1+36+25)/5 = sqrt(62)/5

Y la distancia es el cociente

d = [sqrt(693)/5] / [sqrt(62)/5] = sqrt(693/62)

No se puede simplificar.

Y eso es todo, revisa las cuentas porque me he podido equivocar en muchos sitios.