Problema 15, página 64 Adler

Pruebe que n(13n^2-1) es divisible entre 6 para todo n >= 1

Veamos cual es el resto módulo 6

n(13n^2-1) = 13n^3-n

restaremos 12n^3 que es múltiplo de 6

13n^3-n ~: n^3-n (mod 6)

Y hay que demostrar que n^3-n es múltiplo de 6

n^3-n ~: 0 (mod 6)

Veamos cuales son los módulos de n^3

0^3 ~: 0 (mod 6)

1^3 ~: 1 (mod 6)

2^3 ~: 2 (mod 6)

3^3 ~: 3 (mod 6)

4^3 = 64 ~: 4 (mod 6)

5^3 = 125 ~ 5 (mod 6)

Luego se cumple

n^3 ~: n (mod 6)

Ya que para otro número n mayor que 5 se cumplirá

n = 6m + r con 0<=r <=5

n ~: r (mod 6)

n^3 ~: r^3 ~: r ~: n (mod 6)

luego

n^3 ~: n (mod 6)

y de ahi restando n

n^3-n ~: 0 (mod 6)

Que era lo que había que demostrar.

Y eso es todo.