Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Se demuestra por inducción.
Para k=1 se verifica
$$\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}^{1+1}=\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1+1&1+1\\
1+1&1+1
\end{pmatrix}=
\\
·
\\
\begin{pmatrix}
2&2\\
2&2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2^1&2^1\\
2^1&2^1
\end{pmatrix}$$Supongamos que se cumple para k y veamos que se cumple para k+1
$$\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}^{(k+1)+1}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}^{k+1}\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}=
\\
.
\\
\begin{pmatrix}
2^k&2^k\\
2^k&2^k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
2^k+2^k&2^k+2^k\\
2^k+2^k&2^k+2^k
\end{pmatrix}=
\\
.
\\
\begin{pmatrix}
2·2^k&2·2^k\\
2·2^k&2·2^k
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2^{k+1}&2^{k+1}\\
2^{k+1}&2^{k+1}
\end{pmatrix}$$Luego se cumple la inducción y el enunciado es verdadero.
