EStadisticas para negocios
3.- Se ha comprobado que el tiempo necesario para atender a cada persona en una ventanilla de un banco está distribuído en forma aproximadamente normal con u = 130 segundos y o = 45 segundos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente requiera menos de 100 segundos para terminar sus transacciones?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo selecciónionado aleatoriamente pase entre 2.0 y 3.0 minutos en la ventanilla?
c) ¿En cuánto tiempo terminó sus movimientos en la ventanilla el 20% de los individuos, con las transacciones más sencillas?
Agradezco de antemano tu ayuda
1 Respuesta
El tiempo necesario es una variable X ~N(130, 45)
Para poder usar la tabla (porque supongo que esa es la forma que te obligarán a utilizar) debemos tipificarla a una N(0,1). Eso se consigue definiendo una variable Z así
Z=(X-media)/desviación $ N(0,1)
Y con esta Z ya podemos buscar en la tabla, lo que pasa que no podemos introducir el valor que nos dan sino el correspondiente en Z que es el valor restándole la media y dividiendo por la desviación
P(X <= a) = P[Z <= (a-media)/desviación]
1)
P(X<=100) = P[Z <= (100-130)/45] = P(Z <= -0.6666) =
Los valores negativos no aparecen en la tabla, pero se calculan por la simetría de la N(0,1) donde hay tanto a la izquierda del negativo como a la derecha del positivo, y la derecha del positivo es 1 menos el valor del positivo. Resumiendo
P(Z <=-0.6666) = 1 - P(Z <= 0.6666) =
tabla(0.66) = 0.7454
tabla(0.67) = 0.7486
P(Z<=0.6666) = 0.7454 + 0.66·(0.7486-0.7454) = 0.7454+0.002112 = 0.747512
= 1 - 0.747512 = 0.252488
2)
3 minutos = 180 seg
2 minutos = 120 seg
P(120 <= X <= 180) =
P(X<=180) - P(X<=120) =
P[Z <= (180-130)/45] - P[Z <=(100-130) / 45] =
P(Z <= 1.1111) - P(Z <= -0.4444)
Tabla(1.11) = 0.8665
Tabla(1.12) = 0.8686
P(Z <= 1.11) = 0.8665 + 0.11 · (0.8686-0.8665) = 0.866731
P(Z<=-0.4444) = 1 -P(Z<=0.4444)
Tabla(0.44) = 0.6700
Tabla(0.45) = 0.6736
P(Z<= 0.4444) = 0.6700 + 0.44 · (0.6736-0.6700) = 0.671584
P(Z<=-0.4444) = 1 - 0.671584 =0.328416
P(Z <= 1.1111) - P(Z <= -0.4444) = 0.866731 - 0.328416 = 0.538315
3) Supongo que quiere decir el tiempo mayor del 20% de los clientes que menos tiempo usaron.
Tendríamos que encontrar un 0.2 en la tabla, pero como solo tiene valores positivos buscaremos el punto simétrico en la gráfica de una N(0,1) que es 0.8
El 0.8 sale aproximadamente para 0.85 esta vez no haré las pesadas interpolaciones porque es muy próximo a 0.85.
Entonces para el 0.20 sería el valor opuesto -0.85.
Este -0.85 es el valor de Z que da 0.2 de probabilidad. Pero ahora tenemos que ver a que valore de X se corresponde ese de Z
Z = (X - media) / desviación
-0.85 = (X-130)/45
-0.85 · 45 = X-130
-38.25 = X -130
X = 130-38.25 = 91.95 seg
4)
Pues ahora buscaremos en la tabla el 0.95 que marca el límite del 5% de las operaciones más complejas. Está justo en medio de 1.64 y 1.65, luego se lo adjudicamos a 1.645
Y una vez obtenido el valor de Z despejamos X como en el apartado anterior
Z= (X-media)/desviación
1.645 = (X-130)/45
1.645 · 45 = X -130
74.025 = X -130
X = 74.025 + 130 = 204.025 seg
Y eso es todo.
