Estadística matemática con aplicaciones 5.52

5.52)

Para que sea una función de densidad debe ser siempre positiva (o nula en todo caso) y la integral en el dominio de R2 debe valer 1

Puesto que y1 e y2 >= 0 se cumple 4·y1·y2 >= 0

$$\begin{align}&\int_0^1\int_0^1 4y_1y_2dy_2dy_1 =\int_0^1 \left[ 2y_1y_2^2 \right]_0^1dy_1=\\ &\\ &\int_0^12y_1 dy1 = \left[y_1^2\right]_0^1 = 1\end{align}$$

Luego es una función de densidad.

Calculamos las funciones de densidad marginal

$$\begin{align}&f_1(y_1)=\int_0^14y_1y_2dy_2= [2y_1y_2^2]_0^1=2y_1\\ &\\ &\\ &f_2(y_2)=\int_0^14y_1y_2dy_1= [2y_1^2y_2]_0^1=2y_2\\ &\\ &\\ &f_1(y_1)f_2(y_2) = 4y_1y_2=f(y_1,y_2)\end{align}$$

Luego son independientes por el teorema 5.4

Y eso es todo.