Ayuda con Integrales

La primera se hace por partes. Una integral es por partes cuando te lo dicen o con la práctica te vas dando cuenta de cuáles son.

Lo primero es que tiene que haber un producto. Ojo, que con producto también se incluyen expresiones que puedan tener denominador porque

f(x)/g(x) = f(x) · [1/g(x)]

Y eso también es un producto.

Segundo que sepamos integrar uno de los dos factores del producto.

Tercero, que veamos que el producto de esa integral que sabemos hacer por la derivada del otro factor sea integrable directamente o veamos que ha mejorado la situación.

Hay integrales por partes que se debe hacer el proceso varias veces, pero no hay que derivar la parte que se integró e integrar la que se derivó, porque se vuelve a la integral original sin haber resuelto nada.

Otras veces, haciendo bien el proceso, se vuelve a la integral original pero con signo cambiado. Eso es bueno, sirve para calcularla.

Integral = h(x) - Integral ==> Integral = h(x) / 2

Todo eso no se adquiere en un instante, es fruto de la práctica.

$$\text {La formula es:} \\
\int u· dv = u·v-\int v·du\\
\int(3x^2+4x)lnx \;dx= \\
\begin{matrix}
u=lnx & du = \frac{dx}{x} \\ 
dv=(3x^2+4x)dx & v=x^3+2x^2
\end{matrix}\\
=(x^3+2x^2)lnx-\int \frac{x^3+2x^2}{x}dx=\\
(x^3+2x^2)lnx-\int (x^2+2x)dx =\\
(x^3+2x^2)lnx-\frac{x^3}{2}-x^2+C=\\
(x^3+2x^2)\left ( lnx-\frac{1}{2} \right )+C$$

Espera, que estoy usando una cosa del editor de ecuaciones que me ha dado problemas. Te mando la respuesta para ver si funciona bien antes de hacer la otra integral. De todas formas no sé si conocerás la máxima de los expertos: Una pregunta = Un ejercicio

Funcionó bien, salvo que cuando se usan matrices como usé para poner los u, du, dv y v se entra en otra dimensión y algunas cosas funcionan distinto o no funcionan.

Respecto a la segunda.

Se llama integral racional. Existe una teoría de como se hacen. En este caso tendrías que descomponerla en la suma de dos integrales más sencillas a través de un sistema de ecuaciones de segundo grado y saldría.

Pero te voy a proponer otra cosa:

¿Cuál es la derivada del denominador?

[(x+1)^2] ' = 2(x+1) = 2x+2

¿En que se diferencia eso del numerador?

en que hay un 2 de más.

Luego si ponemos 2x+2 y luego le restamos 2 queda la integral que nos piden. Pues esa va a ser la descomposición, porque la primera integral será inmediata ln[(x+1)^2], ya que habíamos preparado el numerador para que fuera la derivada del denominador y la segunda integral es fácil:

$$\begin{align}&\int \frac{2x}{(x+1)^2}dx =\int \frac{2x+2}{(x+1)^2}dx-\int \frac{2}{(x+1)^2}dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &ln ((x+1)^2)+\frac{2}{x+1}+C\end{align}$$

Y eso es todo, es fácil, pero como no sé la práctica que tienes ya me contarás y si no entendiste algo me lo preguntas. ¡Suerte con el examen!

Buenas tardes,

Lo primero de todo siento haberte saturado con tantas preguntas, pues no conocía la máxima de los expertos. No volverá a ocurrir.

En segundo lugar, tengo una duda en la 2ª integral. No sé de donde sale ln((x+1)^2) y qué es lo que se hace a partir de aquí...

Práctica tengo poca, las integrales es lo que peor llevo. El examen no era difícil, pues la mayoría de los ejercicios eran similares a los que ya habíamos hecho en clase. Lo malo es que era muy largo: 5 problemas de 3 apartados cada uno a desarrollar en 2 horas. No me dió tiempo, me faltó un ejercicio por desarrollar. Así que imagino que habré suspendido...Ya te contaré!!

A la espera de tu repuesta,

Gracias y Un Saludo

La derivada del logaritmo neperiano de una función es la derivad de la función dividida entre la función

Si y = lnx entonces

y' = 1/x

Si y = ln(f(x)) entonces

y' = f '(x) / f(x)

Y hemos hecho algunas operaciones para conseguir que el numerador fuera la derivada del denominador

Si y = ln((x+1)²) entonces

y' = 2(x+1) / (x+1)² = (2x+2) / (x+1)²

Por eso la integral de (2x+2) / (x+1)² es ln((x+1)²)