Ejercicio 4c y 4d

Usaremos el teorema que dice que si las derivadas parciales existen y son continuas en un entorno del punto x entonces la función es diferenciable en x

$$\begin{align}&f(r,\theta)=\frac 12r\,sen \;2\theta\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f(r,\theta)}{\partial r}= \frac 12 sen\,2\theta\\ &\\ &\frac{\partial f(r,\theta)}{\partial \theta}=-\frac 12r\,\cos \,2\theta·2=-r\,\cos\,2\theta\end{align}$$

Y estas derivadas parciales existen y son continuas en cualquier punto del dominio. Y esa es la definición de función de clase C1, luego la función es de clase C1

$$\begin{align}&f(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{y \sqrt{x^2+y^2}-xy \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=\\ &\\ &\frac{yx^2+y^3-x^2y}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}=\frac{y^3}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}\\ &\\ &\text{Y por ser indistinguible y de x intercambiando tenemos}\\ &\\ &\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{x^3}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}\\ &\end{align}$$

El dominio de la función es R2- {(0,0)}, ese es el único punto donde se anula el denominador y no está definida la función. Y las derivadas parciales existen también en todos los puntos salvo (0,0) y son continuas en todos ellos. Por lao tanto la función es de clase C1 y es diferenciable.

Y eso es todo.