Números complejos- Demostración

a) La forma binómica del número complejo en forma polar r sub teta es:

$$\begin{align}&r_{\theta}= r(\cos \theta+i·sen\theta)\\ &\text{por lo cual}\\ &\\ &(r_{\theta})^n = r^n(\cos\theta+i·sen\theta)^n\\ &\\ &\text{y en el otro lado tenemos}\\ &\\ &(re^{i\theta})^n= r^ne^{i·n\theta}=r^n(\cos\; n\theta+i·sen\;n\theta)\\ &\\ &\text{como ambos lados son iguales}\\ &\\ &r^n(\cos\theta+i·sen\theta)^n=r^n(\cos\; n\theta+i·sen\;n\theta)\\ &\\ &(\cos\theta+i·sen\theta)^n=\cos\; n\theta+i·sen\;n\theta\end{align}$$

b) Tomaremos la fórmula recién demostrada y sustituimos los valores que nos dicen.

$$\begin{align}&(\cos\theta+i·sen\theta)^n=\cos\; n\theta+i·sen\;n\theta\\ &\\ &(\cos 18º+i·sen\, 18º)^5 = \cos(5·18º)+ isen(5·18º)\\ &\\ &(a+bi)^5= \cos 90º + i sen\,90º\\ &\\ &(a+bi)^5 = 0+i\\ &\\ &a^5 + 5a^4bi+10a^3b^2i^2+10a^2b^3i^3+5ab^4i^4+b^5i^5=0+i\\ &\\ &a^5 +5a^4bi-10a^3b^2-10a^2b^3i +5ab^4+b^5i = 0+i\\ &\\ &a^5 -10a^3b^2+5ab^4 +(5a^4b-10a^2b^3+b^5)i = 0+i\\ &\\ &\text {igualando las partes reales}\\ &\\ &a^5 -10a^3b^2+5ab^4=0\\ &\\ &Como\; a \neq 0 \;\text{podemos simplificarla}\\ &\\ &a^4 -10a^2b^2+5b^4=0\end{align}$$

c) Sustituimos a=cos 18º y b=sen 18º

$$\begin{align}&Luego \\ &\\ &b^2 = sen^2(18º) = 1 - \cos^2(18º) = 1-a^2\\ &\\ &\text{Y el resultado del apartado b) era}\\ &\\ &a^4 -10a^2b^2+5b^4=0\\ &\\ &a^4 -10a^2(1-a^2)+5(1-a^2)^2=0\\ &\\ &a^4 - 10a^2+10a^4+5 +5a^4-10a^2 = 0\\ &\\ &16a^4-20a^2+5=0\\ &\\ &a^2=\frac{20\pm \sqrt{400-320}}{32}= \\ &\\ &\frac{20\pm4 \sqrt 5}{32}= \frac{5+ \sqrt 5}{8}\\ &\\ &a=\pm \sqrt{\frac{5+\sqrt 5}{8}}\\ &\\ &\text{Como a es cos18º que está en el primer cuadrante}\\ &\\ &\cos 18º =\sqrt{\frac{5+\sqrt 5}{8}}\end{align}$$