Por el método newton raphson

Sabemos que la respuesta es 10, luego no es un problema muy bueno. En el método de Newton Raphson es conveniente partir de un valor lo mas cercano posible a la respuesta, si ya conocemos la respuesta y partimos de ella no sirve para nada el método. Voy a ver si partiendo de cero se llega a ella.

La iteraciones del método son

$$\begin{align}&x_{n+1}=x_n -\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}\\ &\\ &x_{n+1}=x_n - \frac{x^3-1000}{3x^2}\\ &\\ &x_0\text{ = 0 no sirve, tomemos }x_0=1\\ &\\ &x_1=1-\frac{-999}{3}=334\\ &\\ &x_2 = 334 - \frac{334^3-1000}{3·334^2}=222.6697\\ &\\ &\text{La estimación del error }\\ &\\ &\left|\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}\right|= \left|\frac{222.6697-334}{222.6697}\right|=0.5\gt0.1=10\%\\ &\\ &\\ &x_3 = 222.6697 - \frac{222.6697^3-1000}{3·222.6697^2}=148.4532\\ &\\ &\text{la diferencia es superior al 10% a ojo}\\ &\\ &x_4 = 148.4532 - \frac{148.4532^3-1000}{3·148.4532^2}=98.9839\\ &\\ &\\ &x_5 =98.9839 - \frac{98.9839^3-1000}{3·98.9839^2}= 66.0233\\ &\\ &\\ &x_6=66.0233 - \frac{66.0233^3-1000}{3·66.0233^2}=44.0920\\ &\\ &x_7 =44.0920 - \frac{44.0920^3-1000}{3·44.0920^2}=29.5661\\ &\\ &x_8 = 29.5661 - \frac{29.5661^3-1000}{3·29.5661^2}=20.0921\\ &\\ &x_9 = 20.0921 - \frac{20.0921^3-1000}{3·20.0921^2}=14.2204\\ &\\ &x_{10} = 14.2204 - \frac{14.2204^3-1000}{3·14.2204^2}=11.1286\\ &\\ &x_{11} = 11.1286 - \frac{11.1286^3-1000}{3·11.1286^2}=10.1106\\ &\\ &\left|\frac{10.1106-11.1286}{10.1106}\right|=0.1007>0.1=10\%\\ &\\ &x_{12} =10.1106 - \frac{10.1106^3-1000}{3·10.1106^2}=10.0012\\ &\\ &\left|\frac{10.0012-10.1106}{10.0012}\right|=0.0109<0.1=10\%\\ &\end{align}$$

Luego por fin el error estimada es inferior al 10% Y la solución que cumple lo que nos piden es 10.0012

No se puede hacer lo que he hecho, este método requiere un valor inicial próximo a la solución, pero si tomaba 10 a la primera iteración se acababa. LOs problemas de este tipo no pueden ser tan simples, requieren un poco de complicación.

Y eso es todo, si quieres que lo haga empezando por otro número más próximo dime por cual.