1 respuesta
Use el teorema de Wilson para encontrar el resto de 27! Entre 899
(Pista, factorice primero 899)
Vamos a factorizarlo
899 = 29·31
El resto entre 899 cumplirá
27! = 899n + r = 29·31n + r
Y los restos entre 29 y 31 cumplen
27! = 29m + r1
27! = 31k + r2
igualando
29·31n + r = 29m + r1 ==> r =29(m-31n) + r1
29·31n + r = 31k + r2 ==> r = 31(k-29n) + r2
Luego el resto r entre 899 es congruente módulo 29 con r1 y es congruente módulo 31 con r2.
Si conocemos r1 y r2 podremos aplicar el teorema chino de los restos parea calcular r. Y r1 y r2 los podemos conocer por el teorema de Wilson
Como 31 es primo, por el teorema de Wilson tendremos
30! ~: -1 (mod 31)
30·29·28·27 ~: -1 (mod 31)
(-1)(-2)(-3)27! ~: -1 (mod 31)
-6·27! ~: -1 (mod 31)
Multiplicando por 5
-30·27! ~: -5 (mod 31)
Sumando 31·27! a la izquierda
27! ~: -5 (mod 31)
27! ~: 26 (mod 31)
y como 29 es primo tenemos
28! ~: -1 (mod 29)
28·27! ~: -1 (mod 29)
-27! ~: -1 (mod 29)
27! ~: 1 (mod 29)
Esto lo podemos poner como dos ecuaciones del teorema chino de los restos (pag 46)
x ~: 1 (mod 29)
x ~: 26 (mod 31)
El libro dice que la respuesta es
x* = (899/29)b1·1 + (899/31)b2·26 = 31·b1 + 754·b2
Donde
31·b1 ~: 1 (mod 29)
29·b2 ~: 1 (mod 31)
Las resolvemos
Restamos 29·b1 en la primera
2·B1 ~: 1 (mod 29)
Multiplicamos por 15
30·b1 ~: 15 (mod 29)
Restamos 29·b1 en la izquierda
b1 ~: 15 (mod 29)
Y en la otra restamos 31·b2 a la izquierda
-2·B2 ~: 1 (mod 31)
Multiplicamos por 15
-30·b2 ~: 15 (mod 31)
Y sumamos 31·b2 en la izquierda
b2 ~: 15 (mod 31)
Con esto x* = 31·15 + 754· 15 = 11775
El teorema dice que las soluciones son congruentes módulo 29·31 =899 luego podemos hallar la menor positiva
11775 / 899 = 12.09...
11775 - 13 · 899 = 88
Luego 88 es el resto de dividir 27! Ente 899
Y eso es todo.
