Estadística matemática con aplicaciones 5.50

5.50)

a)

Si, son independientes. Se deduce que del teorema 5.5 que dice que si Y1 e Y2 tienen una densidad conjunta f(y1, y2) que es positiva si y solo si a<=y1<=b y c<=y2<=d, para constantes a, b, c y d: y f(y1, y2) =0 en otro caso. Entonces Y1 e Y2 son variables aleatorias independientes si y solo si f(y1, y2) = g(y1)h(y2) donde g(y1) y h(y2) son funciones no negativas y cada una solo depende de la respectiva variable que le hemos señalado.

Es un poco largo, pero resumiendo, tenemos una función de densidad no negativa, con limites de integración constantes para el dominio con probabilidad positiva (es un rectángulo), si podemos poner la función de densidad como producto de dos funciones positivas, una que dependa solo de y1 y otra de y2, entonces las variables son independientes, si no, no lo son.

Y podía haber usado este teorema antes en el ejercicio 4.52, pero no me di cuenta y lo hice normal.

Bueno, pues aquí tenemos la función de densidad 1 que que se puede poner como producto de 1 por 1 considerando que el primer 1 es una función de y1 y el segundo de y2, las tres funciones 1 son positivas y los límites donde la función de densidad es positiva son constantes 0,1 y 0,1.

Se cumplen todas las condiciones del teorema y las variables son independientes.

b) Si lo explican. En ese ejercicio sucedía que una probabilidad condicionada a Y2=0.3 era la misma que la condicionada a Y2=0.5. Esto es lo que sucede con las variables independientes, la probabilidad de una no depende del valor que tome la otra variable.

Y eso es todo.